6. Поперечный изгиб круглых пластин

При изучении деформирования прямоугольных пластин естественным было использование декартовой системы отсчета. Залогом относительной простоты математических выкладок явилось то, что граничный контур пластины совпадал с координатными линиями этой системы. Если граничный контур пластины совпадает с полярными координатными линиями, то принципиально возможное применение декартовой системы отсчета влечет за собой неоправданные математические усложнения. Избежать их удается путем перехода к полярным координатам. Особенно отчетливо преимущества полярной системы координат проявляются при рассмотрении круглых пластин.

6.1. Основные соотношения теории изгиба пластин в полярных координатах. Теорию тонких пластин в полярных координатах можно было бы строить по образу и подобию теории в декартовой системе отсчета с соответствующей редакцией всех рассуждений на использование полярных координат. В этом, однако, нет необходимости, ибо в математике существуют формальные правила, позволяющие переносить все нужные математические факты из одной системы отсчета в другую. Механическая суть задачи при этом не страдает. С подобной проблемой мы уже сталкивались при изучении плоской задачи теории упругости в декартовых и полярных координатах. Здесь, как и там, мы воспользуемся формальным аппаратом перехода от одной системы отсчета к другой.

В соответствии с этим формализмом, чтобы перенести результаты теории изгиба прямоугольных пластин в полярные координаты и , необходимо, прежде всего, воспользоваться их связью с декартовыми координатами

(6.1)

и вытекающими из нее дифференциальными соотношениями

(6.2)

Рассматривая теперь прогиб как сложную функцию , находим

(6.3)

Повторяя подобные выкладки, получим

(6.4)

Отсюда видно, что уравнение Софи Жермен в полярных координатах имеет вид

(6.5)

где под теперь понимается оператор Лапласа в полярных координатах:

(6.6)

В полярных координатах роль напряжений , , , , играют напряжения , , , , . Вместо декартовых обобщенных внутренних сил , , , , вводятся внутренние силы , , , , ( см. рис. 6.1), связанные о полярными компонентами напряжений зависимостями

(6.7)

аналогичными (2.2)-(2.4).

Выразим величины (6.7) через функцию прогиба, ограничиваясь случаем действия на пластину лишь поперечных нагрузок. Для этого, вообще говоря, естественно воспользоваться связью полярных компонент напряжений с декартовыми, выражениями последних через функцию прогиба и правилами перехода от производных по и к производным по и (см. (6.4)). Можно указать и более простой путь. Действительно, если предположить, что оси и совмещены, то, как видно из рис. 6.2, где показаны фрагменты срединной плоскости пластины в окрестности интересующих нас сечений,

Подставляя сюда выражения (2.2)-(2.4), с учетом (6.4) найдем

(6.8)

Аналогичным образом можно выразить через и полярные компоненты напряжений. Сравнивая их затем с последними зависимостями, придем к формулам

(6.9)

Граничные условия на краю записываются так:

(6.10)

если этот край защемлен (рис. 6.З а),

(6.11)

если он шарнирно оперт (рис. 6.3 6), и

(6.12)

если этот край свободен (рис. 6.З в); , — заданные условием задачи величины.

В случае края условия (6.10)-(6.12) принимают соответственно вид

(6.13)

где — заданные величины.

Приведенные выше зависимости позволяют ставить и решать различные задачи изгиба круглых пластин и пластин в форме кольцевого сектора. Далее мы ограничимся изучением одного важного частного случая - осе симметричного изгиба круглых пластин.

6 .2. Осесимметричный изгиб круглых пластин. Осесимметричный изгиб реализуется в круглых пластинах, когда граничные условия и действующая на пластину внешняя нагрузка не зависят от полярного угла. В таком случае естественно считать, что все величины, описывающие напряженно-деформированное состояние пластины, также не зависят от полярного угла . Все это приводит к существенному упрощению выражений предыдущего пункта.

Так уравнение Софи Жермен (6.5) принимает вид

(6.14)

или

(6.15)

и имеет общее решение

(6.16)

где последним слагаемым представлено частное решение

,

(6.17)

которое, в случае постоянной нагрузки , определяется по формуле

(6.18)

Зависимости (6.16), (6.17) получаются путем последовательного выполнения операций интегрирования в уравнении (6.15). Постоянные интегрирования следует находить из краевых условий вида (6.10)-(6.12) после упрощения их для осесимметричного случая. На каждом крае пластины и ( ) имеется ровно два условия. Конкретное начертание их мы дадим чуть позже. А сейчас заметим, что формулы (6.8) в рассматриваемом варианте изгиба принимают вид

(6.19)

Упрощенные условия вида (6.10)-(6.12) можно теперь записать так

(6.20)

на кромке и

(6.21)

на кромке . Здесь , , , — заданные постоянные величины.

Если область, занимаемая срединной плоскостью пластины, — круг ( ), то вместо условий вида (6.21) необходимо потребовать ограниченность прогиба в точке :

(6.22)

Отсюда приходим к выводу, что здесь следует принять и общее решение задачи писать в виде

(6.23)

В ыясним смысл постоянной . Предположим, что к пластине приложена только сосредоточенная поперечная сила в центре . Выделим из пластины круг радиуса и рассмотрим его равновесие в отношении проекций на ось всех действующих на него сил (рис. 6.4). Имеем

так что

(6.24)

С другой стороны, в рассматриваемом случае w_* = 0 и следовательно

(6.25)

Сравнивая формулы (6.24), (6.25), находим

Таким образом, эта константа отлична от нуля лишь тогда, когда в центре пластины приложена сосредоточенная поперечная сила. В этом общем случае

(6.26)

Оставшиеся две постоянные найдутся из граничных условий на кромке .

116