- •1. Теория пределов
- •1.3. Предел функции. Основные теоремы о пределах.
- •1.5. Непрерывность функций в точке, непрерывность
- •X, c постоянная величина. Тогда дифференцируемы в этой точке функции
- •2.2. Дифференциал.
- •2.3. Производные высших порядков. Производные высших порядков неявных функций или функций, заданных параметрически.
- •2.4. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
- •2.5. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя, формулы Тейлора
- •2.6. Исследование функций с помощью производных.
1
1. Теория пределов
1.1. Понятие функции. Основные элементарные функции и их свойства. Построение графиков элементарных
функций
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.
Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.
Определение 1 . Если каждому элементу x множества X (x ∈ X ) ста- вится в соответствие вполне определенный элемент y множества Y (y ∈ Y ), то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x).
При этом x называется независимой переменной (или аргументом), y
зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.
Множества X называется областью определения функции, а множество
Y областью значений функции.
Если множество X специально не оговорено,то под областью определе-
ния функции подразумевается область допустимых значений переменной x, т.
е. множество таких значений x, при которых функция y = f (x) вообще имеет
смысл.
Определение 2 . Графиком функции y = f (x) называется множество то- чек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а ординат
соотвествующие им значения функции y = f (x).
Способы задания функции
1) Аналитический способ, если функция задана формулой y = f (x). Например, функция y = √1 − x2 задана аналитически.
2) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, со- держащей значение аргумента x и соответствующие значения y = f (x).
Например, функция y = f (x) задана таблице
-
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
−20
−23
−10
0
5
15
20
27
22
15
4
−11
где x месяц года, y среднемесячная температура в Красноярске.
3) Графический способ состоит в изображении графика функции y = f (x).
2
Основные свойства функций
1) Четность и нечетность.
Функция y = f (x) называется четной, если для любых значений x ∈ X
выполняется равенство
f (−x) = f (x) .
Функция y = f (x) называется нечетной, если для любых значений x ∈ X
выполняется равенство
f (−x) = −f (x) .
В противном случае функция y = f (x) называется функцией общего вида.
2) Монотонность.
Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежут-
ке X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует
большее (меньшее) значение функции.
Пусть x1, x2 ∈ X и x1 < x2. Тогда функция y = f (x) возрастает на проме- жутке X , если f (x1) < f (x2), и убывает, если f (x1) > f (x2).
Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функ- циями.
3) Ограниченность.
Функция y = f (x) называется ограниченной сверху на промежутке X , ес-
ли существует такое число A, что f (x) ≤ A для любого x ∈ X .
Функция y = f (x) называется ограниченной снизу на промежутке X , если
существует такое число A, что f (x) ≥ A для любого x ∈ X .
Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке X , если су-
ществует такое положительное число M > 0, что |f (x)| ≤ M для любого x ∈ X .
В противном случае функция называется неограниченной.
4) Периодичность.
Функция y = f (x) называется периодической с периодом T = 0, если для
любых x ∈ X выполняется равенство f (x + T ) = f (x).
Основные элементарные функции
1) Степенная функция y = xα, где α ∈ R.
2) Показательная функция y = ax, где a > 0, a = 1.
3
3) Логарифмическая функция y = loga x, где a > 0, a = 1.
4) Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.
5) Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctg x, y = arcctg x.
Реферат. Описать основные свойства (область определения, четность и нечетность, монотонность, ограниченность, периодичность) выше перечислен- ных элементарных функций и построить графики этих функций.
Элементарные функции
Функция называется явной, если она задана формулой, левая часть кото- рой содержит только y, а правая часть содержит выражение, зависящее только от x.
Функция y аргумента x называется неявной, если она задана уравнением
F (x, y) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной y.
Обратная функция. Пусть y = f (x) есть функция от независимой пе-
ременной x, определенной на множестве X с областью значений Y . Поставим в
соответствие каждому y ∈ Y единственное значение x ∈ X , при котором f (x) = y.
Тогда полученная функция x = ϕ (y), определенная на множестве Y с областью
значений X , называется обратной.
Так как традиционно независимую переменную обозначают через x,
а функцию через y, то функция, обратная к функции y = f (x), примет вид
y = ϕ (x).
Сложная функция. Пусть функция y = f (u) есть функция от перемен-
ной u, определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u
в свою очередь является функцией u = ϕ (x) от переменной x, определенной на
множестве X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция
y = f [ϕ (x)] называется сложной функцией.
Понятие элементарной функции. Из основных элементарных функ- ций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования сложной функции.
Определение 3 . Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
Классификация функций
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические
(трансцендентные).
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом про- водится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических
4
функций относятся: целые рациональные функции (многочлены), дробно- рациональные функции (отношение двух многочленов), иррациональные функ- ции (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К чис- лу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифми- ческая, тригонометрические, обратные тригонометрические.
1.2. Последовательность как функция натурального аргумента. Ограниченность, монотонность. Определение предела последовательности,
простейшие свойства
Понятие числовой последовательности
Определение 4 . Если каждому натуральному значению n ставится в соответствие некоторое число an, то говорят, что задана числовая последова-
тельность.
Последовательность обозначается {an}, n = 1, 2, . . .
Другими словами, числовая последовательность это функция нату- рального аргумента: an = f (n).
Числа a1, a2, . . . называются членами последовательности, а число an
общим или n−м членом данной последовательности.
Определение 5 . Число a называется пределом последовательности {an}, если для любого положительного числа ε существует номер N = N (ε) такой, что для всех n > N выполняется неравенство
|an − a| < ε. (1)
Предел обозначается символом a = lim
n→∞
1
an или an → a при n → ∞.
П р и м е р 1. Показать, что lim
n→∞ n
= 0.
Решение. Покажем, что для любого положительного числа ε существует
номер N = N (ε) такой, что выполняется неравенство
< ε.
Так как n натуральное число, то
1
n
ε 1
n < 1 ⇒ n > ε .
5
Тогда в качестве N можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству
1
1
N >
ε
+ 1,
1
где символ
означает целую часть числа
ε
. Отсюда следует, что для всех
ε
n > N будет выполняться неравенство
< ε.
Это означает, что
n
1 lim
= 0.
n→∞ n
Определение 6 . Последовательность {an} называется сходящейся, если
существует предел этой последовательности. В противном случае, последова- тельность называется расходящейся.
lim
П р и м е р 2. Последовательность
1
= 0.
1
n
является сходящейся, так как
n→∞ n
П р и м е р 3. Последовательность n2 является расходящейся, так
как lim
n→∞
n2 = ∞.
П р и м е р 4. Последовательность {(−1)n} является расходящейся, так
как lim
n→∞
(−1)n не существует.
Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Определение 7 . Последовательность {an} называется ограниченной снизу (сверху), если существует число m (M ) такое, что для всех n выпол-
няется неравенство
an ≥ m (an ≤ M ) .
Если последовательность {an} ограничена снизу и сверху, то она называется
ограниченной.
Очевидно, что если последовательность {an} ограничена, т. е. существуют числа m и M такие, что m ≤ an ≤ M , то существует число A такое, что |an| ≤ A.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Определение 8 . Последовательность {an} называется неубывающей
(невозрастающей), если
для всех n.
an+1 ≥ an (an+1 ≤ an)
6
Неубывающие и невозрастающие последовательности называются моно- тонными.
Определение 9 . Последовательность {an} называется возрастающей
(убывающей), если
для всех n.
an+1 > an (an+1 < an)
Возрастающие и убывающие последовательности называются строго мо- нотонными.
Теорема 3. Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Определение 10 . Пусть даны последовательности {an} и {bn}. Суммой,
разностью, произведением и частным называются соответственно следующие последовательности
{an + bn} , {an − bn} , {anbn} ,
an
.
bn
При этом в последнем случае требуется, чтобы bn = 0 для всех n.
Свойства сходящихся последовательностей
n
→∞
an = a, и c произ-
вольное действительное число. Тогда сходится последовательность {can} и
lim
n→∞
can = c lim
n→∞
an = ca. (2)
n
→∞
an = a и
lim
n→∞
bn = b. Тогда сходятся последовательности {an ± bn} и
±
n→∞
(an bn) = lim
±
an lim
n→∞
bn = a ± b. (3)
n
→∞
an = a и
lim
n→∞
bn = b. Тогда сходится последовательность {anbn} и
lim
n→∞
anbn = lim
·
an lim
n→∞
bn = ab. (4)
4) Пусть последовательности {an} и {bn} сходятся и bn = 0, т. е. lim
an = a
и lim
n→∞
an
b
n
n→∞
lim
a lim an n = n→∞
a
= . (5)
n→∞ bn
lim bn b
n→∞
7
5) Пусть последовательности {an} и {bn} сходятся и an ≤ bn (an ≥ bn) при
n > N0. Тогда справедливо неравенство
≤
n→∞
an lim bn n→∞
lim
≥
an lim bn n→∞
. (6)
6) Пусть даны последовательности {an}, {bn} и {cn}. Если an ≤ bn ≤ cn при
n > N0 и последовательности {an} и {cn} сходятся к одному и тому же пределу,
т. е. lim
n→∞
an = lim
n→∞
cn = b, то
lim
n→∞
bn = b. (7)
Число e
Рассмотрим последовательность
an =
1 n
1 +
n
.
1 n
Теорема 4. Последовательность
1 + и
n
1 n
lim 1 +
n→∞ n
= e. (8)
Доказательство. Докажем, что последовательность
1 n
1 +
n
моно-
тонно возрастает и ограничена. Для этого используем бином Ньютона
an =
1 n
1 +
n
1
=
n (n − 1) 1
n (n − 1) (n − 2) 1
= 1 + n · n +
2! · n2 +
3! · n3 + . . . +
+
n! · nn =
1
= 1 + 1 +
2!
n
· n ·
n − 1 + 1
n 3!
n
n − 1
n ·
n − 2
n
+ . . . +
(9)
1 n
+ · ·
n − 1
·
n − 2
. . . ·
n − (n − 2)
n − (n − 1)
· =
n! n
1
= 2 +
2!
n 1 n 1
−
n 3!
1 n 2
1 − n 1 − n
n
+ . . . +
1
+ n! 1 −
1
n 1 −
2
1
n − 1
− n ,
где n! = 1 · 2 · 3 . . . n (читается: "эн факториал").
Покажем,что an+1 ≥ an. Так как
k k
1 − n + 1 > 1 − n для всехk = 1, 2, . . . , n,
8
то из (36) получаем, что an+1 ≥ an, т. е. последовательность {an} монотонно возрастает.
Докажем ограниченность последовательности. Так как
k
1 − n < 1 для всехk = 1, 2, . . . , n,
то
an =
1 n
1 + =
n
1
= 2 +
2!
1 1
−
n 3!
1
1 − n 1 −
2
+ . . . +
n
1
+ n! 1 −
1
n 1 −
2
1
n − 1
− n <
Кроме того,
1
< 2 +
2!
1
1 1
+ + . . . + .
3! n!
1
Поэтому
k! < 2k−1
для всехk = 1, 2, . . . , n.
1 n 1 1
1 1 1 1
an =
1 + < 2 + + + . . . + < 2 + + + . . . + =
n 2! 3! n! 2 22 2n−1
1
= 2 +
·
1
2n−1
2
1
−
= 2 + 1 −
1
2n−1
< 3.
Таким образом , мы доказали, что последовательность {an} ограничена. Тогда
из теоремы 3 следует, что последовательность {an} сходится, т. е. существует
lim
n→∞
1 n
1 +
n
и этот предел обозначается буквой e. Число e = 2, 718281828 . . .