2.4. Непрерывные случайные величины.

Вторым наиболее важным классом СВ является класс непрерывных СВ – таких СВ, для которых их ф.р. в каждой точке х может быть представлена в виде

F(x)= (2.6.)

Где f(y) – некоторая неотрицательная функция, называемая плотностью распределения вероятностей.

Из определения (2.6) следует непрерывность ф.р. F(x) для непрерывной СВ. Для построения математической модели эксперимента с непрерывной СВ можно задать на множестве возможных значений _x либо ф.р. F(X) либо плотность распределения f(x). Например, вероятность попадания СВ Х в интервал (x1, x2) вычисляется по формуле :

P{x1≤X≤x2}=F(x2)-F(x1)= (2.7)

Из формулы (2.6) и свойств плотности распределения ,приведенных в таблице 2.1 следует,что множество возможных значений Ω_x непрерывной СВ несчетно, вероятность каждого значения равна нулю. Поэтому вероятности P(x1<X<x2), P(x1<X≤x2), P(x1≤X≤x2) также вычисляются по формуле(2/7).

Геометрически вероятность попадания СВ в интервал (a,b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной плотностью распределения, осью Ox и прямыми x=a, x=b.

Пример 2.4. Непрерывная СВ Х залана функцией распределения

F(x)= (2.8)

Найти: 1) значение коэффициента А. 2) Плотность распределения f(x). 3) вероятность попадания СВ Х в интервал (1.2)

Решение:

1. Коэффициент А находим , используя непрерывность функции F(x):

1=F(e)=limF(x)=Alne=А ,откуда А=1.

2. Чтобы найти плотность распределения f(x) продифференцируем ф.р. F(x) по x (третье свойство плотности распределения – см. таблицу 2.1):

f(x)=F’(x)= (2.9)

1. Вероятность того, что СВ Х примет значение из интервала(1.2), равна определенному интегралу от плотности распределения в пределах от 1 до 2 :

2. P(1<X<2)= ₁²= ln2

2.5. Числовые характеристики случайных величин.

Наиболее важными числовыми характеристиками СВ являются математическое ожидание (м.о.) , дисперсия, среднеквадратическое отклонение и моменты различных порядков.

Математическое ожидание МХ дискретной СВ Х, принимающей значения p_i с вероятностью x_i i=1,2,///, определяется как сумма ряда МХ= _ip_i при условии, что ряд этот абсолютно сходится(в противном случае говорят, что м.о. не существует). Если СВ Х принимает лишь конечное число значений x_i,…x_n, то

МХ= _ip_i (2.11)

Математическое ожидание указывает среднее значение СВ Х, около которого происходит разброс наблюдаемых значений СВ Х.

Для непрерывной СВ суммирование в (2.1.) заменяется интегрированием , и м.о. определяется как интеграл

МХ= (2.12)

(если этот интеграл абсолютно сходится)

Дисперсией СВ Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайно величины от ее математического ожидания :

DX=M(X-MX)² (2.13)

Дисперсия есть мера рассеяния значений СВ около ее м.о.

Пример 2.5. Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х, определенной в примере 2.2.

Решение. Зная ряд распределения МХ и DX находим по формулам (2.11) и (2.13)

MX=0+1*0.398+2*0.092+3*0.006=0.6;

DX=1*0.398+2²*0.092+3²*0.006-0.6²=0.46.

Пример 2.6. Физиками экспериментально доказано, что для радиоактивных веществ время жизни атома Х- случайная величина, распределенная по показательному закону

P(X<t)=1- где постоянная, называемая «вероятностью распада» и характеризующая данный тип атомов.

Найти 1) среднее время жизни атома t и разброс около среднего 2) вероятность того, что атом распадется за время, меньшее t ; за время от t до 2t 3) доказать, что радиоактивные атомы «не стареют» : если известно, что атом не распался до момента , т.е. Х> , то вероятность прожить еще время, не меньшее t , определяется :

P(X>t+ /X> )=

Решение. 1) Для нахождения числовых характеристик СВ сначала надо найти плотность распределения f(x) как производную от ф.р. (при t≥o)

F(t) =P(X<t)=1-P(X≥t)=1- f(t)=F’(t)= , так как СВ Х принимает только положительные значения, то при t<0 F(t)=0, f(t)=o, и в формулах для MX DX интегрирование фактически проводится по интервалу (0,

^, (2.14)

DX=MX²-(MX)²= ² dt- 1/ ²=1/ ²

3. Вероятность того , что СВ Х примет значение из интервала [a,b), есть F(b)-F(a)/ Поэтому

P(X< =F( 1- , P( <X<2 )= F(2 )- F( .

Заменяя в соответствии с (1.14) в этих фолрмулах на 1/ , получаем:

P(X<t)=1- =1-1/e 0.63,

P( <X<2 )= 1- -(1-e^-1)

В соответствии с законом больших чисел это означает, что за время, меньшее

Распадается около 63% атомов, имевшихся в начальный момент, за время от до

2 - 23% атомов, за время, большее 2 - 14% атомов.

4. По определению условной вероятности P(A/B)=P(AB)/P(B)/ Поэтому

P( =P( =P( = / =

Пример 2.7. СВ Х имеет плотность распределения f(x)={A- при при >1.

Требуется 1)найти постоянный параметр А и функцию распределения F(x) 2) вычислить P(X>0.5) 3) Найти MX и DX/

Решение. Представим f(x) в следующем виде:

f(x)=

Для нахождения параметра А воспользуемся третьим свойством плотности распределения, согласно которому

Отсюда получаем А=1. Значение параметра подставляем в формулу плотности распределения и находим функцию распределения по ее определению:

F(x)=

Вероятность P(X>1/2) можно вычислить по четвертому свойству плотности распределения:

P(X>1/2)=P(1/2<X< )=

Или еще проще, через функцию распределения:

P(X>1/2)=P(1/2<X<1)=F(1)-(1/2)=1-7/8=1/8

Математическое ожидание MX и дисперсия DX непрерывной СВ Х определяется с помощью плотности распределения по формулам из табл. 2.1:

MX= DX= ²

В том случае, когда возможные значения СВ Х ограничиваются конечным интервалом (a,b) пределами интегрирования в формулах для математического ожидания и дисперсии служат границы этого интервала. Т.к. f(x) и x²*f(x) – четные функции, а x*f(x)- нечетная, то по свойству интегралов от нечетной и от четной функций MX=

DX = -1/4* =1/6

2.6. Нормальное распределение.

СВ Х называется нормально распределенной СВ с параметрами m и ² , если ее плотность распределения равна f(x)= *

Непосредственным вычислением проверяется, что в этом случае

MX=m, DX= , т.е. параметры m и равны математическому ожиданию и дисперсии СВ Х. Если СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами m и , то СВ - нормальное распределение с параметрами(0.1), поэтому ф.р. СВ Х F_x(x) выражается через ф.р. (x) случайной величины по формуле:

F_x(x)=P(X<x)=P(

Аналогично находим вероятность попадания СВ Х в интервал (

P( (2.16.)

Ф.р. F(x)= ее вычисления используют специальные таблицы. В учебниках обычно приводится таблица функции Ф(х)= , связанной с F(x) формулой :

F(x)=

Функция Ф(х) нечетная, Ф(-х)=-Ф(х), поэтому в таблице приведены ее значения только для x≥0. Заменяя в формуле (2.16) функцию F(x) на ½+Ф(х) , получим для вероятности попадания в интервал ( СВ Х, распределенной по нормальному закону с параметрами m, : P( (2.17)

Пример1.7. Считаетсячто отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Найти , какой процент изделий имеет длину от 49 до 51 см., если среднеквадратическое отклонение длин от номинала равно .

Решение. Положив в формуле (2.17) m=50, , находим :

P(49<X<51)=Ф(

Т.е. ( в соответствии с законом больших чисел) 95% всех деталей имеет длину в пределах от 49 до 51 см.