§5. Понятие поверхности

5.1. Плоская кривая , лежащая в плоскости Oxz и не пересекающая ось Oz, вращается вокруг указанной оси. Найти параметрические уравнения полученной поверхности вращения.

5.2. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и образующими параллельными постоянному вектору .

5.3. Задана точка и кривая . Написать параметрические уравнения конуса с вершиной в точке М и направляющей l.

5.4. Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой перпендикулярны вектору и пересекает прямую и кривую .

5.5. Найти параметрическое уравнение поверхности, образованной касательными к данной кривой (торса). Является ли торс линейчатой поверхностью?

5.6. Окружность (x – a)² + y² = R², z = 0, где a > R, вращается вокруг оси Oy. Найти параметрические уравнения поверхности вращения (тор).

5.7. Направляющая цилиндрической поверхности задается уравнениями x = f₁(v), y = f₂(v), z = 0, а ее образующие параллельны оси Oz. Найти параметрические уравнения цилиндра.

5.8. Написать неявное уравнение конуса с вершиной в точке M(1, 1, 1) и направляющей x = acosu, y = bsinu, z = 0.

5.9. Найти неявное уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и прямолинейными образующими, параллельными вектору .

5.10. Составить уравнение линейчатой поверхности, образованной прямыми параллельными плоскости Oxy и пересекающими кривую x = u, y = u², z = u³ и ось Oz.

5.11. Принадлежат ли точки A(3, 5, –4) и B(1, 3, 2) поверхности ?

5.12. Дана параметризация некоторой поверхности. Показать, что уравнения x =u cosv, y = u sinv, z = u² определяют эту же поверхность.

5.13. Окружность с радиусом R перемещается так, что ее центр движется по фиксированной кривой , а сама окружность лежит в нормальной плоскости указанной кривой. Составить уравнения поверхности, описываемой этой окружностью.

§6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Огибающая, характеристика, ребро возврата семейства поверхностей

6.1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к тору x = (  + cosu)cosv, y = sinu, z = (  + cosu)sinv в точке M(u =  /4; v =  /4).

6.2. Составить уравнение касательной плоскости и нормали поверхности x = ucosv, y = usinv, z = av в произвольной точке.

6.3. Через точки А(0, 1, 0) и В(1, 0, 0) провести плоскость, касательную к поверхности = {u, v, u² + v²}.

6.4. К поверхности xyz + 8 =0 провести касательную плоскость, параллельную плоскости 2x + 2y + 2z – 5 = 0.

6.5. Составить уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду y = x² + z², перпендикулярную вектору .

6.6. Найти касательную плоскость поверхности x²z + y² = 8 в точке А(2, 0, 2).

6.7. Найти уравнение нормали поверхности x⁴ – 2y³ – z²x = 2 в точке А(1, –1, 1).

6.8. Через точку М(1, 2, 1) провести плоскость, касательную к конусу второго порядка x² + y² – z² = 0.

6.9. Написать уравнения прямых, проходящих через точку М(1, 1, 2) и перпендикулярных эллипсоиду x² + y² + 2z² = 10.

6.10. Найти огибающую и характеристики семейства сфер . Существует ли ребро возврата?

6.11. Найти ребро возврата однопараметрического семейства плоскостей xsinC – ycosC + z = Ch, где h = const.

6.12. Найти огибающую однопараметрического семейства плоскостей xcosC + ysinC – zsinC = 1.

6.13. Найти огибающую однопараметрического семейства плоскостей .

6.14. Найти огибающую и ребро возврата семейства сфер, проходящих через начало координат и имеющих центры на кривой , .

6.15. Составить уравнение сфер, для которых огибающей поверхностью является конус без вершины x² + y² = a²z² (z ≠ 0).