БИЛЕТ 1.

Матрица – упорядоченная таблица каких-либо элементов, если эти элементы – числа, то матрица – числовая.

Если кол-во столбцов = кол-ву строк, то такая матрица – квадратная.

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы по главной диагонали отличны от 0, а остальные элементы = 0. Также диагональ может быть побочной.

Матрица называется единичной, если элементы главное диагонали = 1, а остальные = 0.

Матрица называется треугольной, если все элементы под или над главной диагональю = 0.

Действия над матрицами:

1)Сложение – суммируются соответствующие элементы матриц.

• А+В=В+А

• (А+И)+С=А+(В+С)

2)Умножение на число – умножается каждый элемент матрицы на число.

• k*A=A*k

• k*(A+B)=k*A+k*B

• (k*m)*A=(k*A)*m

3)Умножение матриц возможно только когда кол-во столбцов A соответствует кол-ву строк В. Это перемножение соотв. элементов строки А с соотв. элементами строки В.

• А*В≠В*А, если В*А=А*В, то матрица перестановочная

• k(A*B)=(k*A)*B

• k*m(A*B)=(k*A)(m*B)

• A(B+C)=A*B+A*C

4)Транспонирование – замена строк столбцами

• (Ат)т=А

• (А*В)т=Вт*Ат

• (А+В)т=Ат+Вт

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 2.

Определитель – числовая характеристика квадратичной функции.

Определитель записывается в квадратных скобках. Внутри них можно совершать разные манипуляции. Обозначается как det(A), |А| , Δ (A) или Δ.

Если состоит из одного числа, то записывается как .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 3.

Минор – определитель на 1 меньшего порядка, который остается после вычеркивания i-строки и j-столбца.

Алгебраическое дополнение элемента a_ij – минор M_ij, взятый со знаком (-1)^i+j и обозначается A_ij=(-1)^i+j*M_i+j.

i+j – четные, то +. i+j – нечетные, то -.

Теорема разложения

Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки\столбца на соответствующее дополнение.

Теорема аннулирования

Сумма произведений элементов любой строки на алгебраическое дополнение элементов другой строки = 0.

Фундаментальное тождество

Правило Сарруса для определителя третьего порядка

1)перемножить со знаком + элементы главной диагонали и параллельные ей с углом

2)перемножить со знаком – элементы побочной диагонали и параллельные ей с углом

3) сложить все

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 4.

1. Если поменять строки и столбцы местами, не меняя их взаимного расположения, то det=det^T

2. Если поменять 2 строки местами, то знак det станет противоположным.

3. Если в det 2 одинаковые строки, то он = 0.

4. Общий множитель какой-либо строки можно вынести за знак определителя (det).

5. Величина det не изменится если к какой-либо строке прибавить другую строку умноженную на число, не 0.

6. Если в det 2 пропорциональные строки, то det = 0.

7. Если в det какую-либо строку представить в виде суммы, то det = сумме det.

8. если в det есть 0-вая строка, то det = 0.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 5.

Для того, чтобы найти обратную матрицу нужно, чтобы det≠0.

Формула

Матрица, det которой = 0 – невыраженная, неособенная.

• Если матрица имеет обратную, то это обратная единственная для матрицы.

• Det A и det обратной A – взаимообратные.

• (A^-1)^-1)=A

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 6.

Метод Крамера

Если главный определитель системы отличен от 0, то система умеет решение и при том только одно.

Формула Крамера, где det – главный определитель. А det_1,2,3 – частные определители, которые получается путем замены соответствующего столбца столбцом из свободных членов.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 7.

Метод Гаусса

1. Прямой ход: Составляем расширенную матричную систему и с помощью элементарных преобразований доводим ее до треугольного вида.

2. Обратный ход: Последовательно находим неизвестные переходя от последнего к первому.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 8.

Матричный метод

Вводим обозначения A,B,X.

A*X=B

A^-1*A*X=A^-1*B; (A^-1*A=E, EX=X); X=A^-1*B

Матрица A^-1 существует только когда det≠0.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 9.

Если каждому элементу x є D можно поставить соответствующую по какому-нибудь правилу или закону один элемент y є E, то y называется функцией х и обозначается y=f(x), где f – совокупность математических действий над значением переменной х, в результате чего получается одно значение переменной y.

Способы задания функций:1)Табличный; 2)Графический, когда график рисует игла самописца или осцинографа; 3)Аналитический а)В явном виде, когда равенство, задающее функцию. разрешено относительно у; б) В неявном виде, когда равенство, задающее функцию, не может быть разрешено относительно у; в)Параметрический, прямые х и у не связаны друг с другом на прямую, а посредствам промежуточной переменной – параметра.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Билет 10.

1. у=x ͣ Степенная функция

2. y=A ͯ Показательная функция

3. y=log_aX Логарифмитрическая функция

4. y=sinX Тригонометрическая функция

5. y=arccosX Обратная тригонометрическая функция

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Билет 11.

Если аргумент U функции y=f(u) является в свою очередь функцией для независимой переменной Х, т.е. u=f(x), то функция y=f(u(x)) называется сложной функцией или функцией в функции. Если равенство, задающее функцию, разрешить относительно Х, то получим х=φ(y). Будем теперь считать х – функцией, а y- аргументом, переобозначим эти пересечения, тогда функция y=φ(x) будет называться обратной для функции y=f(x). Графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы, проходящей 1ого и 3 ого координатных углов.

Замечание: если функция монотонна на некотором интервале, то она имеет обратную функцию.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 12.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ-это функция, определенная на множестве натуральных чисел. Её также называют нумерованной переменной и обозначают Хn=f(n), где n=1,2,3…

ЧП считается заданной, если указано правило, по которому можно для любого n вычислить соответствующий член ЧП. Способы задания ЧП:

1. формулой общего члена Xn=n/(n²-1)

2. Рекуррентной формулой (закон перехода от n-ного члена к n+1 члену)

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 13.

Чисоло А называется пределом ЧП Xn при X → ∞, если для любого малого сколько угодного числа Е, то найдется такой номер N, начиная с которого для всех последующих значений n будет выполняться неравенство |Xn-A|<E.

Теорема: если ЧП имеет конечный предел, то этот предел единственный, то есть одна ЧП не может иметь 2 различных предела.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

БИЛЕТ 14.

Если для лубого сколь угодно большого числа m>0 можно указать такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство Xn>m, то есть число ЧП будет ограниченно вырастать, то говорят, что ЧП имеет бесконечный предел.

Lim Xn = +∞

n→∞

ЧП Xn называется ограниченной, если найдется такое положительное число M, что для всех M выполняется неравенство |Xn|≤M

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Билет 15.

Монотонное ограниченик ЧП имеет конечный предел, т.е. если ЧП возрастает и ограничен сверху числом М, то она имеет конечный предел М>0, Lim Xn =A≤M, при n→∞ или ЧП убывает и ограничено снизу числом M, то lim Xn = B≥M

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------