§7. Квадратичные формы поверхности

В задачах 7.1 — 7.4 найти первую квадратичную форму следующих поверхностей:

7.1. (сфера);

7.2. (тор);

7.3. (эллиптический параболоид);

7.4. , (однополостный гиперболоид вращения).

7.5. Найти угол, под которым пересекаются линии u + v = a и u – v = a на поверхности , .

7.6. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением , на поверхности с первой квадратичной формой I = du² + между точками M₁(u₁, v₁) и M₂(u₂, v₂).

7.7. Найти площадь четырехугольника, лежащего на поверхности с первой квадратичной формой I = du² +(u² + a²)dv², ограниченного линиями u = 0, u = a, v = 0, v = b.

7.8. Найти угол между линиями v + u = 0, v + u = 0, где     , на поверхности с первой квадратичной формой I = du² +dv².

7.9. Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника, ограниченного линиями u = av, u = –av, v = 1, лежащего на поверхности с первой квадратичной формой I = du² + (u² + a²)dv².

7.10. Дана поверхность z = xy. Найти угол между координатными линиями x = x₀, y = y₀.

7.11. Вычислить длину дуги между точками , линии , расположенной на поверхности .

В задачах 7.12 — 7.15 найти вторую квадратичную форму следующих поверхностей:

7.12. ;

7.13. ;

7.14. ;

7.15. , .

7.16. Вычислить нормальную кривизну поверхности в точке P(0, 0) в направлении dy : dx = .

7.17. Найти нормальную кривизну гиперболического параболоида z = x² – y² в точке М(x = 0, y = 0) в направлении dy : dx =  : .

7.18. На поверхности дана точка М(u = 1, v = 1). Вычислить кривизну нормального сечения в точке М, проходящего через касательную к линии v = u².

7.19. В каком направлении нормальная кривизна эллиптического параболоида z = axy в точке М(x = 0, y = 0) принимает наибольшее значение?