Пример решения транспортной задачи

На три базы А₁,А₂,А₃ поступил однородный груз в количествах, соответственно равных 6, 8, 10 (ед.) Этот груз требуется перевезти в четыре магазина В₁,В₂,В₃,В₄ соответственно в количествах 4, 6, 8, 8 (ед.). Стоимость доставки единицы груза с каждого из пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов (в руб.).

i=1,2,3; j=1,2,3,4.

Составить план перевозок однородного груза с минимальными транспортными издержками.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

=6+8+10=24.

=4+6+8+6=26

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на трех базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу А₄ с запасом груза, равным 26–24=2 (ед.) Тарифы перевозки единицы груза из базы А₄ во все магазины полагаем равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу 5.

Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Среди тарифов из всей таблицы наилучшим является с₁₁=1, поэтому в клетку A₁B₁ направляем максимально возможный груз. Он равен min{6,4}=4. Тогда x₁₁=4 и из базы A₁ не вывезен, груз 2 ед., а потребность магазина B₁ удовлетворена полностью. Столбец таблицы В₁ выходит из рассмотрения. Из оставшихся тарифов строки наименьший - с₁₂=2. В клетку A₁B₂ направляем максимально возможный груз, равный min{2,6}=2. Тогда строка А₁ выходит из рассмотрения, поскольку из базы A₁ вывезен весь груз. Из оставшихся тарифов наилучший с₂₂=3 и с₃₄=2. В клетку А₂В₂ направляем груз, равный min{8,4}=4. При этом вычеркивается столбец В₂ из рассмотрения. Из оставшихся тарифов наименьший с₃₄=3. В клетку А₃В₁ направляем груз, равный min{10,8}=8. При этом потребность четвертого магазина удовлетворена, а из третьей базы не вывезено 2 ед. Этот нераспределенный груз направляем в клетку А₃В₃, х₃₃=2. Потребность третьего магазина не удовлетворена на 2 ед. Направим от фиктивного поставщика - базы А₄ 2 ед. в клетку А₄В₃, т.е. х₄₃=2.

Таблица 5

Bj Аi		В1	B2	B3	B4	Потенциалы α i
		b1=4	b2=6	b3=8	b4=8
А1	a1=6	1 4 –	2 2 –	4 +	3	α1=0
А2	a2=8	4 4	3 4+	8 4–	5	α 2=1
A3	a3=10	2	7	6 2	3 8	α3=-l
А4	a4=2	0	0	0 2	0	α 4=-7
Потенциалы β1		β1=1	β2=2	β3=7	β2=4

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план удовлетворяет системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их -7, а должно быть m+n-1=4+4-1=7. Следовательно, опорный план является невырожденным.-

3. Определяем значение целевой функции первого опорного плана

F(X₁)=4·1+2·2+4·3+4·8+2·6+8·3+2·0=88 руб.

Подтвердим оптимальность опорного плана.

4. Найдем потенциалы α_i, β_i. по занятым клеткам таблицы, решая систему уравнений, полагая, что α_i +β_i.=С и α₁=0

Занесем рассчитанные потенциалы в таблицу 5, подсчитаем оценки свободных клеток, полагая, что для них Δ_ij=c_ij–(α_i+β_j):

Δ₁₃= 4-7=-3; Δ₁₄=3-4=-1; Δ₂₁=4-2=-2; Δ₂₄=5-5=0; Δ₃₁=2-0=2;

Δ₃₂=7-1=6; Δ₄₂=6; Δ₄₄=3;

Первый опорный план является не оптимальным, так как Δ₁₃<0 и Δ₁₄<0, поэтому переходим к его улучшению. Выбираем максимальную по модулю оценку свободной клетки - Δ₁₃=|–3|=3.

4. Для клетки A₁B₃ построим цикл перераспределения груза. Для этого в перспективную клетку A₁ B₃ поставим знак +, а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки -, +, -:

Затем из чисел x_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. min{2,4}=2. Прибавляем 2 г объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из хij. стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план II.

6. Определяем значение целевой функции:

F(X₂)=F(X₁)+0·α₁₃=88+(-3)·2=88-6=82 (руб)

7. Число занятых клеток в II плане 7, следовательно, план не вырожденный.

6. Проверяем оптимальность плана методом потенциалов для этого находим потенциалы α_i β_j по занятым клеткам, полагая α₁=0.

Затем рассчитаем оценки свободных клеток

Δ₁₂=-2-(-1)=3; Δ₁₄=3-1=2; Δ₂₁,4-5=-1; Δ₂₄₌5-5=0

Δ₃₁=2-3=-1; Δ₃₂= 7-1 =6; Δ₄₁3; Δ₄₂=5; Δ₄₄₌₃.

План, полученный в таблице 6 . не оптимальный, так как Δ₂₁<0 и Δ₂₁<0.

Таблица 6

План II

Bj Аi		В1	B2	B3	B4	Потенциалы α i
		b1=4	b2=6	b3=8	b4=8
А1	a1=6	1 4 − –	2	4 + 2	3	α1=0
А2	a2=8	4 4 +	3 6	8 − 2	5	α 2=4
A3	a3=10	2 +	7	6	3 8	α3=l
А4	a4=2	0	0	0 2	0	α 4=-4
Потенциалы β1		β1=4	β2=-1	β3=4	β2=1

6. Проводим улучшение плана II путем перераспределения грузов. В качестве перспективной клетки для загрузки выбираем А₃ В₁, в которую записываем +, затем строим цикл перераспределения:

Груз перераспределения равен:

Это единственная положительная оценка, поэтому строим цикл для клетки A₄B₁. Θ=min (4,2)=2.

Перераспределив груз получаем новый план III.

Таблица 7

План III

Bj Аi		В1	B2	B3	B4	Потенциалы α i
		b1=4	b2=6	b3=8	b4=8
А1	a1=6	1 2 −	2	4 + 4	3	α1=0
А2	a2=8	4 +	3 6	8 – 2	5	α 2=4
A3	a3=10	2 2	7	6	3 8	α3=l
А4	a4=2	0	0	0 2	0	α 4=-4
Потенциалы β1		β1=4	β2=-1	β3=4	β2=2

10. Число занятых клеток 7, а должно быть m+n-1=7, следовательно план III невырожденный.

11. Вычислим значение целевой функции:

F(X₃)=F(X₂)+Θ•А₃₁ = 82 + 2(-1) = 82- 2 = 80.

12. Проверяем оптимальность плана III методом потенциалов.

Находим потенциалы по занятым клеткам:

Проверим оценку свободных клеток:

Δ₁₂=2-(-1)=3; Δ₁₄=3-(2+0)=1; Δ₂₁=4-5=-1; Δ₂₄=5-(2+4)=-1;

Δ₃₂=7-(1+1)=7; Δ₃₃=6-(1+4)=1; Δ₄₁=0-(-4+1)=3; Δ₄₂=0-(-4+4)=0;

Δ₄₄=4-0-(-4+2)=2.

План не оптимальный. Δ₂₁=-1, Δ₂₄=-1.

13. Проводим улучшение плана III путем перераспределения груза. В качестве перспективной клетки для загрузки выбираем А₂ В₁, в которую записываем +, затем строим цикл перераспределения:

Определяем груз перераспределения Θ=min(2;2)=2, после исследования операции перераспределения получаем план IV

Таблица 8

План IV

Bj Аi		В1	B2	B3	B4	Потенциалы α i
		b1=4	b2=6	b3=8	b4=8
А1	a1=6	1 0	2	4 6	3	α1=0
А2	a2=8	4 2	3 6	8	5	α 2=3
A3	a3=10	2 2	7	6	3 8	α 3=l
А4	а4 =2	0	0	0	0 2	α 4=-4
Потенциалы β1		β1=1	β2=0	β3=4	β2=2

14. План получается вырожденный поскольку в минусовых клетках цикла находятся два одинаковых минимальных объема груза 2. При перераспределении две клетки A₁ B₂ и А₂ В₃ оказались свободными, поэтому число занятых клеток 6 будет меньше, чем m+n-1=7. Для продолжения решения в одну из освободившихся клеток записываем нуль A₁ B₁ т.к. тариф С₁₁ меньше С₂₃.

15. Вычисляем значение целевой функции:

F(X₄)=F(X₃)+Θ·Δ₂₁=80+2·(-1)=78

15. Проверяем оптимальность плана IV методом потенциалов. Находим потенциалы по занятым клеткам:

Проверим оценку свободных клеток:

Δ₁₂=2-1=1; Δ₁₄=3-2=1; Δ₂₃=8-(3+4)=1; Δ₂₄=5-(3+2)=0

Δ₃₂=7-(0+1)=6; Δ₃₃=6-(4+1)=1; Δ₄₁=0-(-4+1)=3; Δ₄₂=0-(-4+0)=4

Δ₄₄=0-(-4+2)=2

Поскольку все оценки больше или равны нулю, то план оптимален

Анализ плана. Из первой базы необходимо весь груз направить в третий магазин, из второй базы направить в первый и второй магазин в количестве 2 ед. и 6 ед. , а груз с третьей базы следует вывозить в первый и второй магазин в количестве 2 и 8 ед. соответственно. При этом плане потребность третьего магазина В₃ остается неудовлетворительной в размере 2 ед. Общая стоимость доставки груза потребителям будет минимальной и составлять 78 тыс. руб. Так как оценка свободной клетки Δ₂₄=0, то задача имеет множество оптимальных планов.