Практическая работа 5

Тема: Определение модуля сдвига при кручении.

Цель: Научиться строить эпюры крутящих моментов, определять диаметр вала из расчета на прочность, находить модуль сдвига.

Методические указания:

При работе бруса на кручение в его поперечных сечениях воз­никает только один внутренний силовой фактор — крутящий мо­мент Мz (обозначаемый также Mk), представляющий собой резуль­тирующий момент внутренних касательных сил, действующих в по­перечном сечении бруса.

Для расчета на прочность и определения перемещений попереч­ных сечений бруса надо знать закон изменения крутящих моментов по длине бруса. Величина Mz определяется с помощью метода сечений через внешние силы (моменты): крутящий момент в произ­вольном поперечном сечении бруса численно равен сумме моментов относительно продольной оси z бруса всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого поперечного сечения

Мz=Σm_z (1)

Момент будем считать положительным, если вращение создается электродвигателем.

При кручении бруса круглого (сплошного или кольцевого) попе­речного сечения справедлива гипотеза плоских сечений: расстояния между поперечными сечениями остаются неизменными и их радиусы не искривляются. Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется по формуле:

τ= (2)

где Jp — полярный момент инерции попе­речного сечения;

р — расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки (рис.1).

Рис.1

Полярный момент инерции представляет собой сумму произведе­ний площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до центра сечения, т. е.

J_р=∫p² dA.

А

Вычисление полярного момента инерции производится по следу­ющей формуле:

Jp= (3)

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках внеш­него контура сечения и определяются по формуле:

τ_max= (4)

где Wр= - полярный момент сопротивления сечения, равный отношению полярного момента инерции к наруж­ному радиусу сечения. Эта величина является геомет­рической характеристикой прочности при кручении бруса круглого поперечного сечения.

Для круга:

Wр=πd³/16≈0,2d³. (5)

Условие прочности имеет вид:

τ_max= ≤[τ_Κ] (6)

где [τ_Κ] — допускаемое напряжение при кручении, величина которо­го зависит в основном от материала рассчитываемого бруса. При чистом кручении можно принимать

[τ_Κ] =(0,5–0,6) [σ] .

Обычно брусья, работающие на кручение (валы), испытывают, кроме кручения, также и изгиб, поэтому для компенсации ошибки, получающейся за счет пренебрежения влиянием изгиба, принимают невысокие значения [τ_Κ]. Для валов из углеродистой стали обычно принимают

[τ_Κ] = 20 — 45 МПа.

Для отдельного участка постоянного сечения при Mz=const угол закручивания определяется по формуле:

φ=MzL/GJp, (7)

где L- длина участка вала или всего вала,

G-модуль сдвига материала вала, для стали модуль сдвига G≈8*10¹⁰ Па,

Произведение GJр назы­вают жесткостью сечения бруса при кручении.

Значение угла φ в радианах.

Расчет на жесткость должен обеспечить, чтобы относительный угол закручивания (т. е. угол закручивания на единицу длины, например 1 метр), обозначаемый θ, не превышал допускаемого угла закручивания [θ], зависящего от назначения рассчитываемого вала. Единых норм жесткости, общих для различных отраслей машиност­роения, не существует. В качестве наиболее распространенных зна­чений можно указать:

[θ]= (4,38-17,5)*10^-3 рад/м= (0,25-1,0) град/м.

Формула для расчета на жесткость (проверочный расчет) имеет вид:

θ= ≤[θ] (8)

где Mz в Н*м, G в Па (для стали G≈8*10¹⁰ Па), Jр в м⁴, θ и [θ] в рад/м.

При расчете валов, как правило, бывают заданы передаваемая мощность N в кВт или в л.с. и угловая скорость ω в рад/сек или n в об/мин. Вращающий момент, передаваемый шкивом (зубчатым колесом и т. п.), вычисляется по формуле:

m=N/ω, (9)

где N в Вт и m в Н*м.

Вращающий момент в кН*м при N в кВт определяется по формуле:

m=9.55N/n (10)

и при N в л.с.

m=7.02N/n. (11)

Пример решения практической работы № 5

На вал постоянного сечения насажены четыре шкива (рис.2а). Шкив 3 передает от источника энергии на вал мощность N₃=220 кВт, а остальные шкивы снимают с вала и передают рабочим машинам мощности соответственно N₁=45 кВт; N₂ = 75 кВт и N₄ = 100 кВт. Вал вращается со скоростью п = 500 об/мин. Определить его диаметр из расчета на прочность. Из расчета на жесткость найти модуль сдвига материала вала и сравнить его значение с табличным (G≈8*10¹⁰ Па), если

[τ_Κ]=30 МПа и [θ]=7,5*10^-3 рад/м.

Рис. 2

Решение.

Угловая скорость вала (в с^-1)

ω=πn/30=3,14*500/30=52,3 с-¹.

На рис.2б показана расчетная схема вала.

Величины моментов, передаваемых каждым из шкивов, вычис­ляем по формуле (9)

m₁ =N₁ /ω= 45*10³/52,3≈860 Н*м;

m₂ =N₂ /ω= 75*10³/52,3≈1430 Н*м;

m₃ =N₃ /ω= 220*10³/52,3≈4200 Н*м;

m₄ =N₄ /ω= 100*10³/52,3≈1910 Н*м

Для выявления опасного сечения (участка) вала построим эпюру крутящих момен­тов. Потери в подшипниках не учитываются, поэтому сумма снима­емых с вала мощностей равна подводимой к нему мощности:

N₃= N₁ +N₂ +N₄.

Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива 1.

На I участке:

М^I_z = – m₁= –860H*м,

на II участке:

М^II_z = – m₁ –m₂ = -860- 1430= -2290 Н*м,

на III участке:

М^III_z = – m₁ –m₂ +m₃=-860-1430+4200= 1910 Н*м.

Скачки на эпюре соответствуют сечениям, где подается или снимается определенная мощность. Из построенной эпюры Мz (рис.2в) следует, что опасными являются сечения участка между шкивами 2 и 3.

Расчетный (наибольший) крутящий момент:

Мz_max=|М^II_z|=2290 Н*м.

Определяем диаметр вала из расчета на прочность:

Wp≥ Мz_max/[τ_Κ]=2290/30*10⁶=76,4*10^-6 м³;

Из формулы (8) выразим модуль сдвига:

G_расч= Мz_max /Jp[θ]

Требуемый полярный момент инерции сечения вала:

Jp= =0,1*(73*10^-3)⁴ =284*10^-8 м⁴.

Отсюда модуль сдвига:

G_расч= Мz_max /Jp[θ]=2290/284*10^-8 *7,5*10^-3=10,75*10¹⁰ Па

Так как G_расч> G_табл, то увеличиваем диаметр до 80 мм и пересчитываем:

Jp= =0,1*(80*10^-3)⁴ =410*10^-8 м⁴

G_расч= Мz_max /Jp[θ]=2290/410*10^-8 *7,5*10^-3=7,45*10¹⁰ Па

Окончательно принимаем d=80 мм.

τ_max= =2290/(3,14*0,08³/16)=22,7*10⁶ Па=22,7 МПа.

При этом наибольшие каса­тельные напряжения в опасном сечении вала будут ниже допуска­емых:

τ_max=22,7 МПа < [τ_Κ]=30 МПа

Варианты заданий практической работы № 5

Задание: На вал постоянного сечения насажены четыре шкива (рис.3). Заданы мощности N₁, N₂, N₃ и N₄. Вал вращается со скоростью п. Определить его диаметр из расчета на прочность. Из расчета на жесткость найти модуль сдвига материала вала и сравнить его значение с табличным (G≈8*10¹⁰ Па), если известны [τ_Κ] и [θ].

Рис. 3

Таблица вариантов заданий

№ варианта	N1, кВт	N2, кВт	N3, кВт	N4, кВт	n, об/мин	[τк], МПа	[θ], рад/м
1	98	34	23	41	100	25	4,4*10-3
2	22	81	38	21	110	26	4,5*10-3
3	15	56	117	46	120	27	4,6*10-3
4	95	18	77	190	130	28	4,7*10-3
5	127	66	31	30	140	29	4,8*10-3
6	55	218	73	90	150	31	4,9*10-3
7	20	66	157	71	160	32	5*10-3
8	73	164	111	348	170	33	5,1*10-3
9	45	12	14	19	180	34	5,2*10-3
10	88	165	55	22	190	35	5,3*10-3
11	123	16	193	54	200	36	5,4*10-3
12	59	44	11	114	210	37	5,5*10-3
13	542	310	99	133	220	38	5,6*10-3
14	33	212	87	92	230	39	5,7*10-3
15	54	73	146	19	240	40	5,8*10-3
16	33	221	158	412	250	40	5,9*10-3
17	209	47	63	99	260	39	6*10-3
18	61	284	128	95	270	38	6,1*10-3
19	109	61	263	93	280	37	6,2*10-3
20	104	55	66	225	290	36	6,3*10-3
21	512	128	304	80	300	35	6,4*10-3
22	301	403	72	30	310	34	6,5*10-3
23	91	222	324	11	320	33	6,6*10-3
24	64	19	125	208	330	32	6,7*10-3
25	101	23	48	30	340	31	6,8*10-3
26	59	322	144	119	350	29	6,9*10-3
27	189	82	383	112	360	28	7*10-3
28	90	201	155	446	370	27	7,1*10-3
29	586	298	52	236	380	26	7,2*10-3
30	14	137	91	32	390	25	7,3*10-3
31	33	50	132	49	400	25	7,4*10-3
32	19	29	18	66	410	26	7,6*10-3
33	83	56	14	13	420	27	7,7*10-3
34	59	298	177	62	430	28	7,8*10-3
35	99	50	251	102	440	29	7,9*10-3
36	191	264	83	538	450	31	8*10-3

Практическая работа 6

Тема: Расчет балок на прочность.

Цель: Научить определять опорные реакции балок и строить эпюры изгибающих моментов, рассчитывать изгибаемую балку на прочность.

Методические указания:

Чистым изгибом называют такой вид нагружения бруса, при ко­тором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор—изгибающий момент Ми. В большинстве случаев одновременно с изгибающим моментом возникает и другой внутренний силовой фактор — поперечная сила Q; такой изгиб называют поперечным.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, дей­ствующих на оставленную часть, относительно центра тяжести се­чения:

Ми=ΣM.

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической ..сумме, внешних сил, дей­ствующих на оставленную часть:

Q =ΣF.

Здесь имеется в виду, что все внешние силы и моменты действуют, в главной продольной плос­кости бруса, причем силы расположены перпендикулярно продольной оси.

При чистом изгибе в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения σ, а при поперечном изгибе, кроме того, и касательные напряжения τ. Однако в подавляющем большин­стве случаев влияние τ при расчете на прочность не учитывается, поэтому отпадает необ­ходимость как в определении поперечных сил Q, так и в построении их эпюры.

Установим следующее правило знаков для изгибающего момента: момент внешней силы или пары, изгибающий мысленно закрепленную в сечении оставленную часть бруса выпуклостью вниз, считается положительным (т. е. дает положительный изгибающий момент); в противном случае момент внешней силы или пары отрица­телен.

Для реальной, закрепленной одним концом балки расчет целесообраз­но вести со свободного конца (чтобы избежать определения опорных реакций); в случае двухопорной балки решение задачи приходится начинать с определения опорных реакции.

Балки выполняют постоянного по длине поперечного сечения, поэтому его размеры подбирают только для опасного сечения — се­чения с максимальным по абсолютному значению изгибающим мо­ментом.

Пример решения практической работы № 6

Задание: Рассчитать на прочность балку квадратного сечения со стороной квадрата а=10 мм (рис.а). Для материала балки (сталь Ст 3) с уче­том повышенных требований к ее жесткости принять [ σ] = 130 Н/мм².

Д ано:М₁=10 Н*м;

М₂=16 Н*м;

F₁=210 H;

F₂=300 H;

L₁=0,05 м;

L₂=0,1 м;

L₃=0,1 м;

L₄=0,05 м;

Решение: В заданном брусе четыре участка: /, 2, 3 и 4. Имеет место изгиб бруса.

Расчет двухопорной балки следует начать с определения реакций Rв и R_D шарнирных опор (горизонтальная-реакция шарнирно-неподвижной опоры В, очевидно, равна нулю). По­лагая обе реакции направленными вверх, составляем два уравнения равновесия, выбрав в качестве центра моментов точки В и D:

1) ΣΜ_Β=0; —M₁+F₁* BC—M₂—R_D* BD—F₂* BE=O;

— 10 + 210*0,1 — 16 — R_D* 0,2 — 300*0,25 = 0, отсюда R_D = — 400 H;

2) Σ M_D = 0; —M₁ + R_B*BD— F₁* CD — M₂ — F₂* DE = 0;

— 10 + R_В* 0,2— 210*0,1 — 16—300*0,5= 0, отсюда R_В =310 Н.

Составляем проверочное уравнение равновесия:

ΣF_y =R_B — F₁ + R_D+F₂=310—210+(—400)+300=610 — 610 = 0; следова­тельно, реакции опор определены верно. Реакция R_D получилась отри­цательной, т. е. направлена не вверх, а вниз (что и показываем на чертеже, перечеркивая предварительно выбранное направление). Най­денные значения R_B и R_D проставляем на чертеже.

Для определения изгибающего момента применяем метод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каждого из участков, будем отбрасывать правую часть балки и оставлять для рассмотрения ле­вую часть, т. е. строим эпюру слева направо.

Эпюру изгибающих моментов строим по характерным толчкам, т. ё. вычисляем М_и в характерных сечениях А, В, С, D и Е. В сечениях А и В, равно как и в любом другом сечении участка 1, изгибающий момент постоянен, и равен:

М_и1= —М₁ = — 10 Н*м.

В сечении С участка 2 (т. е. в се­чении, бесконечно близком к сечению С слева) изгибающий момент:

М_иС2= —M₁ +R_В*ВС = -10+319*0,1=21 Н.м.

В сечении С участка 3 (т. е. в сечении, бесконечно близком к сечению С справа) изгибающий момент:

М_иС3 = —M₁ + R_В*ВС — M₂ = М_иС2 — М₂=21 —16=5 Н*м. (т. е. в сечении С изгибающий момент изменился «скачком» на значение приложенного здесь внешнего момента М_и).

Для упрощения расчетов дальнейшие вычисления Мц целесообраз­но проводить справа налево, т. е. отбрасывая левую часть балки и оставляя для рассмотрения правую часть. В сечении D изгибающий момент:

М_иD = F₂* DE =300*0,05 = 15 Н*м.

В сечении E изгибающий момент:

М_иЕ = 0, так как относительно точки Е внешняя сила F₂ мо­мента не создает (плечо силы равно нулю). Нанося полученные ха­рактерные точки на график и соединяя их прямыми линиями, получаем эпюру изгибающих моментов М_и (рис. б).

По размерам поперечного сечения балки проводим проверку балки на прочность. В опасном сечении (сечение С) взятый по абсолютному значению изгибающий момент М_и=21 Н*м=21*10³ Н*мм.

Для квадрата осевой момент сопротивления:

W_x=а³/6=10³/6=167 мм³.

Рассчитываем балку по условию прочности:

σ= ≤[σ]

125 Н/мм² ≤130 Н/мм²

σ<[σ]

Условие прочности выполнено.

Варианты заданий практической работы № 6

Задание: Для заданной балки квадратного сечения построить эпюру изгибающих моментов и проверить балку на прочность.

Рисунки к практической работе

Таблица вариантов заданий

№ варианта	Сила F, Н	Момент М, Н*м	Длина участка, м			Сторона квадрата а, мм	Допускаемое напряжение материала [σ],Н/мм2	№ рисунка
			L1	L2	L3
1	13	9	0,3	0,5	0,5	5	30	1
2	25	55	0,3	0,7	0,5	6	40	2
3	15	11	0,7	0,3	0,2	4	50	3
4	19	5	0,5	0,5	0,5	2	60	4
5	25	19	0,7	0,7	0,2	7	70	5
6	39	23	0,5	0,5	0,3	8	80	6
7	21	13	0,5	0,2	0,7	9	90	7
8	11	15	0,7	0,3	0,5	5	100	8
9	13	7	0,3	0,5	0,2	3	120	9
10	31	5	0,2	0,4	0,6	4	140	10
11	32	24	0,4	0,7	0,8	9	160	1
12	30	40	0,6	0,8	0,9	7	160	2
13	20	30	0,8	0,2	0,7	6	140	3
14	30	20	0,5	0,5	0,5	4	120	4
15	10	22	0,7	0,3	0,6	8	110	5
16	90	28	0,6	0,4	0,4	2	100	6
17	10	4	0,4	0,5	0,5	3	90	7
18	24	12	0,2	0,6	0,3	4	80	8
19	36	6	0,8	0,5	0,2	5	70	9
20	20	7	0,5	0,2	0,9	6	60	10
21	13	6	0,7	0,3	0,1	7	50	1
22	32	9	0,3	0,8	0,2	8	40	2
23	25	8	0,3	0,7	0,3	9	30	3
24	30	18	0,5	0,6	0,6	9	30	4
25	12	21	0,6	0,2	0,5	8	40	5
26	19	23	0,2	0,3	0,4	7	50	6
27	14	44	0,4	0,6	0,9	6	60	7
28	17	15	0,8	0,5	0,8	5	70	8
29	26	58	0,5	0,4	0,7	4	80	9
30	19	41	0,3	0,8	0,5	3	90	10
31	20	33	0,7	0,7	0,6	4	100	1
32	21	54	0,5	0,2	0,4	5	120	2
33	28	16	0,6	0,3	0,3	6	130	3
34	35	20	0,4	0,8	0,2	7	140	4
35	11	19	0,2	0,7	0,1	8	150	5

Практическая работа 7

Тема: Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения

Цель: Научиться строить эпюры изгибающих и крутящих моментов, рассчитывать диаметр балки.

Методические указания:

В случае совместного действия изгиба с кручением (например, для валов) в поперечных сечениях бруса одновременно возникают два внутренних силовых фактора — изгибающий момент Ми и крутя­щий момент Мк (влиянием поперечной силы Q пренебрегают). Расчет на прочность ведут по так называемому эквивалентному на­пряжению σ_э на основе третьей или четвертой теории прочности. Условие прочности имеет вид:

σ_э = Mэ/W ≤[σ],

где Мэ — эквивалент­ный момент, определяемый в зависимости от принятой теории прочности следующим образом:

Мэ =√М²и+М²к

для третьей теории (теории наибольших касательных напряже­ний);

Мэ =√М²и+0,75М²к

для четвертой теории (тео­рии энергии формоизмене­ния). Обе теории дают примерно одинаковые ре­зультаты расчета.

Пример решения практической работы № 7

Задание: Грузы F₁ = 10 кН и F₂= 20 кН удерживаются в равновесии балками длиной соответственно L₁=0,4 м и L₂=0,3 м, прива­ренными под прямым уг­лом к консольному брусу АС (рис.а). Брус и балки располо­жены в горизонтальной плоскости. Определить диаметр бруса, приняв для его материала (сталь СтЗ) [σ] = 160 Н/мм².