4.3. Функции Блоха

Блохом было доказано, что волновые функции, являющиеся решениями одноэлектронного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, имеющим период решетки, представляют собой плоские волны, модулированные некоторой функцией с периодичностью решетки:

. (4.5)

Здесь - некоторая периодическая функция с периодом, равным периоду решетки, зависящая от волнового вектора .

Условия периодичности потенциальной энергии в кристалле ,

где ,

где – векторы единичных трансляций,

- произвольные целые числа.

При смещении кристалла на , он совмещается сам с собой.

Из условия трансляционной симметрии следует, что волновая функция электрона отличается от волновой функции некоторым постоянным множителем

. (4.6)

Из условия нормировки .

Это условие можно удовлетворить, положив ,

где - волновой вектор, характеризующий квантовое состояние электрона в кристалле.

Тогда из выражения (4.6) получаем: ,

или ,

где .

Таким образом, волновая функция электрона в кристалле представляет собой бегущую волну ,

• модулированную периодической функцией , имеющей период решетки

• и зависящей от волнового вектора .

Функция , определяемая уравнением (4.5), называется функцией Блоха.

4.4. Свойства волнового вектора электронов в кристалле Зоны Бриллюэна

На электрон, движущийся в кристалле, всегда действует периодическое поле решетки. Энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменяются со временем под действием этого поля, то есть не сохраняются.

Однако, пользуясь понятием волнового вектора , выведенного для электрона в кристалле, то есть входящего в функцию Блоха, можно вывести характеристику, сохраняющуюся во времени - квазиимпульс .

Квазиимпульсу соответствует оператор , который коммутирует с гамильтонианом кристаллической решетки, следовательно, для квазиимпульса справедлив закон сохранения.

Тогда между собственными функциями операторов квазиимпульса и энергии должна быть определенная функциональная связь:

, - энергия должна быть функцией квазиимпульса.

Волновой вектор электронов в кристалле в отличие от волнового вектора свободного электрона неоднозначен.

Можно показать, что состояния, характеризуемые волновыми векторами и - вектор обратной решетки) физически эквивалентны.

Следовательно, энергия электронов, находящихся в этих состояниях, одинакова.

То есть, и волновая функция, и энергия электрона в кристалле, являются периодическими функциями волнового вектора с периодами

.

Если в - в пространстве построить обратную решетку, растянутую в раз, то есть решетку с векторами , то все - пространство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Эти области называют зонами Бриллюэна.

1. Первой, или основной зоной Бриллюэна называют. многогранник минимального объема, построенный вокруг начала координат в - пространстве, содержащий все возможные различные состояния. С помощью векторов обратной решетки любую точку - пространства можно перевести в первую зону Бриллюэна.

Эквивалентность физических состояний, принадлежащих различным зонам Бриллюэна, позволяет при движении электрона в - пространстве рассматривать его траекторию только в пределах первой зоны Бриллюэна.

Любой реальный кристалл является ограниченным. Эта ограниченность приводит к тому, что волновой вектор электрона может принимать только дискретный ряд значений. Воспользовавшись циклическими граничными условиями Борна-Кармана

и предположив, что кристалл имеет форму параллелепипеда с размерами ,

получаем разрешенные значения компонентов волнового вектора:

причем

где - числа атомов, располагающихся на ребрах ,

тогда или .

Учитывая, что состояние с волновыми векторами и эквивалентны, получаем: . Нижнее значение .

Таким образом, числа разрешенных значений компонентов вектора , заключенных в интервале , составляют для соответственно.

Всего в зоне Бриллюэна имеется разрешенных состояний.

Итак, для полного описания всей совокупности состояний электрона в кристалле достаточно рассматривать только область значений, ограниченную первой зоной Бриллюэна.

Так как для двух значений , отличающихся на , все волновые функции и уровни энергии одинаковы, энергетическим уровням можно приписать индексы п так, чтобы при заданном п собственные функции и собственные значения решений уравнения Шредингера были периодическими функциями вектора в обратной решетке:

.

2. Совокупность всех энергетических уровней электрона, описываемых функцией при фиксированном значении п, называют энергетической зоной.

Так как каждая функция периодична и квазинепрерывна, у нее существуют верхний и нижний пределы.

Все уровни энергии данной энергетической зоны заключены в интервале между этими пределами.

При ширине зоны ~1эВ расстояние между энергетическими уровнями составляет ~ эВ, что много меньше .Это позволяет в ряде случаев не учитывать дискретность энергии в пределах зоны.

Поскольку каждому разрешенному значению соответствует разрешенный уровень энергии, и на каждом уровне в силу принципа Паули может располагаться два электрона с противоположно направленными спинами, число электронов в разрешенной зоне не может превышать 2N.