1.4. Обозначение плоскостей и направлений в кристалле

Решетчатая структура кристаллов приводит к необходимости выделять и определенным образом обозначать различные кристаллографические плоскости – плоскости, в которых находится множество атомов решетки. Практическое значение имеют лишь плоскости с наибольшим числом атомов на единицу площади. Для этого пользуются специальной системой координат, связанной с кристаллом так, что координатные оси X, Y, Z берут вдоль ребер элементарной ячейки, а начало координат в одном из узлов.

В ыберем систему координат с осями, совпадающими с тремя ребрами элементарной кристаллической сетки:

• начало координат находится в одном из узлов решетки, в котором пересекаются эти ребра,

• а осевые единицы соответствуют длине ребер кристаллической сетки (рис.1.3.).

• Масштаб

- по оси х равен длине ребра элементарной ячейки a;

- по y – b;

по z – с.

Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками.

В выбранной системе координат в качестве трех таких точек берут точки пересечения заданной плоскости с осями координат.

Для обозначения плоскостей в кристалле используют индексы Миллера, которые определяются след. образом:

1. находят координаты трех точек пересечения плоскости с координатными осями ( в единицах постоянной решетки);

2. обратные значения полученных чисел приводим к общему знаменателю и знаменатель отбрасываем. Числители полученных дробей и есть индексы Миллера h, k, , которые заключают в круглые скобки ( hk )

Пусть узловая плоскость S пересекает оси координат в точках А,В,С и отсекает по осям отрезки m,n,p , причем m=OA/a; n=OB/b; p=OC/c.

Отношение обратных величин осевых отрезков имеет вид

h:k: =1/m:1/n:1/p ,

где h,k, -индексы Миллера.

Для их нахождения отношение 1/m:1/n:1/p приводят к общему наименьшему знаменателю и отбрасывают его.

Например, 1/m:1/n:1/p=1/5:1/2:1/7=14/70:35/70:10/70=14:35:10,

т.е. h=14; k=35; =10.

П лоскость S обозначают (14,35,10).

Если плоскость S параллельна какой-либо оси, то соответствующий ей индекс h,k, равен нулю,

и если индекс отрицательный, знак “минус” ставится над ним: (1, ,3).

Некоторые плоскости, различающиеся по индексам Миллера, являются эквивалентными

например,

в кубе грани (1 0 0 ), ( 0 1 0 ), (0 0 1), ( 0 0),

(0 0), (0 0 ) .

Эти плоскости могут быть совмещены друг с другом при повороте вокруг одной из осей координат на угол, кратный 90⁰. Эти плоскости обладают одинаковой структурой в расположении узлов решетки, и, следовательно, одинаковыми физическими свойствами.

С емейство эквивалентных плоскостей обозначается фигурными скобками: {100}.

Плоскости (hk ) и ( ) неэквивалентны, поэтому семейство включает в себя 6 (a не 12) различных систем плоскостей (рис.1.4).

Индексы направления в кристалле представляют собой набор наименьших чисел u,v,w, отношение которых друг к другу равно отношению проекций вектора, параллельного заданному направлению, на кристаллографические оси координат (рис.2).

Эти индексы заключаются в квадратные скобки [uvw].

Семейство эквивалентных направлений обозначается ломаными скобками <uvw>.

Символика Миллера применяется для всех кристаллографических систем, кроме гексагональной.

Кристаллы гексагональной системы описываются с помощью четырех координатных осей x₁ , x₂ , x₃ , z.

Оси x₁, x_2, x₃ имеют одинаковый масштаб, угол между ними 120⁰.

Ось z перпендикулярна к плоскости (x₁, x₂, x₃. В гексагональной системе применяются индексы Миллера - Браве.

Принцип определения этих индексов в тот же : если осевые отрезки m, n, q, p, то индексы Миллера - Браве: h:k:i: =1/m:1/n:1/q:1/p.

При этом =-( h+k ). Это можно показать геометрически (угол между (x₁,x₂); (x₂, x₃); (x₃,x₁) равен 120⁰). Это дает возможность не писать третий индекс и свести индексы Миллера – Браве к индексам Миллера (рис.1.5).

Кристаллографические плоскости играют большую роль в методах рентгено- и нейтроноструктурного анализов кристаллов.

Межплоскостное расстояние d для простой кубической решетки определяется формулой:

,

Где а – постоянная решетки, - миллеровские индексы.