10.6. Задача складання комерційного прогнозу

Дотепер розглядалися приклади, у яких фігурувала одномірна перемінна, що характеризує стан, а випадкові величини були цілком незалежними. За допомогою приклада, приведеного нижче, ми проілюструємо метод введення у модель взаємно корельованих випадкових величин за рахунок збільшення розмірності перемінної, що описує стан системи.

Розглянемо наступну спрощену модель реальної ситуації. Протягом перших N тижнів сезону фірма, яка спеціалізується на виробництві жіночих светрів, має можливість деякою мірою регулювати обсяг кожного виду продукції, що випускається нею. Фірма, що виготовляє модний одяг для визначеного сезону, як і багато інших фірм, зайнятих виробництвом продукції, попит на яку нерегулярний, не може з повною впевненістю прогнозувати сумарний обсяг замовлень на той або інший вид виробу. Поки персонал фірми, зайнятий роздрібною торгівлею згаданими вище товарами, підводить підсумки за минулі N тижнів, від покупців безупинно надходять нові заявки.

Виробничі витрати містять у собі не тільки вартість робочої сили та вартість використовуваних матеріалів, але і витрати на регулювання рівня виробництва на підприємствах. Останні виникають через зупинки при переналагодженні, пов’язаного зі значною зміною потужностей потокових ліній; особливо дорого обходиться збільшення обсягу продукції, що випускається, у самому розпалі сезону. Якщо фірма встановить занадто високий сумарний обсяг для того або іншого виду виробу, то частина відповідної продукції залишиться не реалізованою до кінця сезону, фірма буде змушена розпродати надлишки за зниженими цінами і, таким чином, потерпить збитки. Якщо ж фірма запланує занадто незначні обсяги виробництва, вона може упустити потенційну можливість збільшити свій доход.

У той же час фірма буде зазнавати збитків, якщо вона буде корегувати календарний план випуску продукції занадто поспішно, покладаючись на уточнену інформацію щодо сумарної кількості замовлень, які надходять протягом кожного тижня. Крім того, варіювати рівень виробництва можна лише у визначених межах, що залежать від рівня виробництва у попередній період, а також і від того, скільки ще тижнів залишилося до кінця даного сезону.

Фірма робить свою сезонну продукцію з випередженням на кілька місяців до початку цього сезону. Так, наприклад, фірма випускає осінні моделі на початку року. Швидше за усе фірма завершує випуск продукції до того, як починається роздрібний продаж цієї продукції, й комерційний доход визначається лише тією сумарною кількістю замовлень, що фірма може задовольнити до моменту припинення випуску даної продукції.

Отже, задача календарного планування виробництва фірмою містить елемент істотної невизначеності. Якби керівництво фірми могло точно знати сумарну кількість замовлень, фірма робила би продукцію в тому ж темпі протягом усього планового періоду.

Задачу складання календарного плану на кожен виріб можна описати за допомогою оптимізаційної моделі. Нехай D_t є загальне число замовлень, що надійшли, на визначений виріб до початку t-го тижня. Оскільки поряд з новими замовленнями частина замовлень анулюється, не виключено, що D_t+1 виявиться меншим у порівнянні з D_t. Допустимо, що D_t+1 залежить тільки від D_t і не залежить ні від кількості замовлень у попередні періоди, ні від обсягів виробництва. Введемо наступні позначення:

p_t (D | d) – умовна імовірність того, що загальне число замовлень, що надійшли D_t+1 = D), якщо D_t = d для t = 1, 2, ..., N – 1;

p_N (D | d) – умовна імовірність того, що загальне число замовлень, що надійшли за сезон дорівнює D, якщо D_N = d.

При оцінці p_t (D | d) та p_N (D | d) фірма виходить зі статистичних даних щодо загального числа замовлень, що надійшли, за попередні роки. Крім того, введемо в розгляд наступні показники:

r – доход (у грошових одиницях) від одного виробу, проданого протягом сезону;

s – доход (у грошових одиницях) від одного виробу, проданого за зниженою ціною по закінченні сезону;

c_t (X | х) – витрати, пов’язані з переходом у t-й тиждень на рівень випуску X за умови, якщо в попередній тиждень рівень випуску дорівнював х.

Тут передбачається, що r та s визначені з урахуванням вартості використаної робочої сили, а також вартості витрачених матеріалів, причому постулюється, що s < 0. Позначимо через L_t (х) та U_t (х) відповідно нижня і верхня межі перемінної X, що описує множину допустимих значень для рівня випуску продукції в t-й тиждень за умови, якщо рівень випуску, запланований на (t – 1)-й тиждень, дорівнює х. Правило ухвалення рішення у даному випадку формує стратегію, що дозволяє визначити поточний рівень випуску X при заданих значеннях х і D_t. Нехай оптимальною є стратегія, що максимізує математичне чекання доходу. Така стратегія може бути визначена шляхом рішення рекурентного рівняння

(1)

при

(2)

де нерівність D > X під знаком суми в (2) означає, що підсумовування робиться за всіма можливими значеннями перемінної, яка визначає загальне число замовлень, що надходять до кінця сезону, a D під знаком суми в (1) означає, що підсумовування проводиться за всіма можливими значеннями D_t+1.

Величина f₁ (X*, D*) є максимальним очікуваним доходом у припущенні, що до розглянутого планового періоду рівень виробництва дорівнював X*, а до початку першого тижня планового періоду надійшло D* замовлень. Помітимо, що в (2) перемінна стану двомірна: один з її компонентів характеризує попереднє управляюче рішення, тоді як інший компонент показує, яким виявилося фактичне значення випадкової величини.