4. Елементарна модель управління запасами

Задача фірми є досить простою, тому що стан системи на будь-якому відрізку t залежить практично тільки від того, чи продовжується процес формування рішення аж до t-гo відрізка, або, іншими словами, від того, чи рекламувалися удосконалені установки для кондиціонування повітря фірмою або її конкурентами на попередніх відрізках. Перемінна стану в приведеному нижче прикладі відповідає тому, що вже розглядалося раніше у представлених детерміністичних задачах.

Цей приклад являє собою імовірнісний аналог задачі планування виробництва і управління запасами фірми.

У детерміністичному варіанті задачі фірми були прийняті наступні припущення щодо даних, що фігурують у моделі:

- попит D = 3; обсяг виробництва х ≤ 5;

- рівень запасів j на кінець відрізка (що є частиною планового періоду) задовольняє умові j ≤ 4. (1)

Сума витрат, пов’язаних з виробництвом і збереженням, дорівнює (2)

де х и j – ненегативні цілі числа, а

С(0) = 0, С(1) = 15, С(2) = 17, С(3) = 19, С(4) = 21, С(5) = 23, h = l,

для усіх відрізків (всередині планового періоду). Таким чином, параметри моделі стаціонарні у часі. Перемінною стану системи є рівень запасів на початок відрізка планового періоду; рівень запасів був позначений через i (i = 0, 1, ..., 4). Рекурентне співвідношення динамічного програмування у цьому випадку має такий вигляд:

(4)

при

(5)

причому в (4) , а мінімізація здійснюється над множиною тільки таких цілочисельних значень перемінної х, що знаходяться в інтервалі .

Припустимо тепер, що рівень попиту приймає одне з двох незалежних і рівноімовірнісних значень:

(6)

так що Е [D] = 3 для усіх відрізків планового періоду. Щоб зробити аналіз даної стохастичної моделі порівнянним з аналізом відповідної детермінованої задачі, необхідно прийняти ряд додаткових допущень. По-перше, припустимо, що наприкінці планового періоду складські запаси не приймаються до уваги й не приводять до витрат на збереження (у детерміністському випадку рівень запасів наприкінці планового періоду прийняли рівним нулю). По-друге, допустимо, що обсяг виробництва достатній для того, щоб запаси ніколи не закінчувалися (не приймали негативних значень), що приводить до наступного обмеження:

Обсяг запасів на початок відрізка +

+ Обсяг виробленої продукції ≥ 4. (7)

Оскільки найменше значення для рівня попиту дорівнює 2, а рівень запасів наприкінці відрізка не може перевищувати 4 одиниці, то повинна задовольнятися також наступна умова:

Обсяг запасів на початок відрізка +

+ Обсяг виробленої продукції ≤ 6. (8)

Найбільш важливим є та обставина, що перемінна, що характеризує стан у даній стохастичній моделі, як і раніше являє собою рівень запасів на початок відрізка. Чим це поснюється? Оскільки випадкові величини, що характеризують рівень попиту, повністю незалежні, єдиним пов’язаним з минулим показником для моменту часу, в якому до кінця планового періоду залишається п відрізків, є наявний обсяг запасів. Припускаючи, що задача полягає в мінімізації значення цільової функції, що представляє собою математичне чекання сумарних (за плановий період) витрат, можна інтерпретувати як очікувані витрати на реалізацію оптимальної стратегії при заданому значенні i для рівня запасів на початок відрізка, коли до кінця планового періоду залишається п відрізків.

У випадку коли п = 1, прості обчислення приводять до наступної формули: (9)

Для більших значень п при заданому рівні запасів i очікувані витрати при реалізації оптимальної стратегії можуть бути визначені за допомогою наступної схеми міркувань. По-перше, потрібно врахувати витрати С(х), пов’язані з виробництвом х одиниць продукції. По-друге, необхідно включити очікувані витрати на збереження продукції (за станом на кінець розглянутого відрізка, тобто в обсязі i + х – D). Нарешті, варто взяти до уваги витрати, що будуть мати місце у наступні відрізки планового періоду. Ці витрати являють собою ні що інше, як , де D характеризується розподілом імовірностей, обумовленим співвідношеннями (6). Таким чином, при п = 2, 3, ... рекурентне співвідношення динамічного програмування для розглянутої стохастичної моделі має такий вигляд:

(10)

де i = 0, 1, ..., 4, а мінімізація робиться над множиною тільки таких ненегативних цілочисельних значень х, що знаходяться в інтервалі .

Помітимо, що головна відмінність рекурентного співвідношення (4), що має місце у випадку детерміністичної моделі, від рекурентного співвідношення (10) для стохастичної задачі полягає в тому, що в останньому випадку необхідно зробити додаткові обчислення, пов’язані з кількісним визначенням. У табл. 10.1 поряд приведені оптимальні значення для обсягів виробництва для п = 1, 2, ..., 5. Можна довести, що стратегія, оптимальна для п = 3, є оптимальною також і для всіх п ≥ 3.

Таблиця 10.1

Стохастичний варіант моделі управління запасами

Рівень запасів на початок відрізку і	n = 1		n = 2		n = 3			n = 4		n = 5		Необмежений плановий період
	x1(i)	f1(i)	x2(i)	f2(i)	x3(i)	f3(i)	x4(i)		f4(i)	x5(i)	f5(i)	x∞(i)
0	4	21	4	41	5	57,5	5		72,25	5	93	5
1	3	19	5	34,5	5	52,25	5		70,00	5	87,43	5
2	2	17	4	32,5	4	50,25	4		68,00	4	85,43	4
3	1	15	3	30,5	3	48,25	3		66,00	3	83,43	3
4	0	0	0	20	0	37,75	0		54,87	0	72,62	0