Фокусы сферической поверхности.
Пусть источник света располагается бесконечно далеко от оси преломляющей поверхности
.
Тогда
,
.
Аналогично рассмотрим случай
,
.
Величины
характеризуют преломляющую поверхность,
и называется фокусными расстояниями
сферической поверхности.
Расстояние
- переднее фокусное расстояние, а точка
- передний фокус.
Расстояние
- заднее фокусное расстояние,
- задний фокус.
Фокусом сферической поверхности называется точка, в которой после преломления сходятся параллельные лучи, падающие на сферическую поверхность.
Фокусы также могут быть действительными и мнимыми, в зависимости от того сходятся ли в них преломленные лучи или их предполагаемые продолжения.
Проведем луч
через центр сферической поверхности.
Лучи, параллельные
,
пересекутся в фокусе
,
лежащем также на расстоянии
от преломляющей поверхности.
Совокупность точек
образует сферическую поверхность
радиусом
,
которая называется фокальной поверхностью.
Для параксиальных лучей малого участка этих поверхностей можно считать плоскими. Их называют фокальными плоскостями: через проходит передняя фокальная плоскость, через проходит задняя фокальная плоскость.
Увеличение. Теорема Лагранжа – Гельмгольца.
Рассмотрим светящийся отрезок
,
перпендикулярной оси. Построим его
изображение
.
Обозначим размеры отрезков
,
.
Линейным увеличением называется величина
.
В зависимости от характера изображения – прямое или перевернутое, увеличение может быть положительным или отрицательным.
Из треугольников
имеем
,
.
При малых размерах и
,
,
,
.
Обозначим на рисунке углы
и
,
предельное значение которых еще
соответствует условию параксиальности
лучей.
Углы , определяют максимально возможное расхождение лучей пучков или апертуру пучков.
Запишем:
,
,
.
Подставим в
,
,
.
Это соотношение называется теоремой Лагранжа – Гельмгольца. Указанная теорема связывает апертуру и размер предмета с апертурой и размером изображения, накладывая тем самым ограничение на преобразование пучков.
Тонкая линза.
Линзой называется система, состоящая из двух сферических поверхностей, ограничивающих прозрачный материал от окружающей его среды.
Н рисунке
- центры кривизны сферических поверхностей
радиусами
.
Точки
- полюсы сферических поверхностей.
- абсолютные показатели преломления
1-й, 2-й сред и материала линзы.
-
толщина линзы.
Линза называется тонкой, если выполняется условие
.
В этом случае точки сливаются в одну точку . Все расстояния будем отсчитывать от этой точки , которая называется оптическим центром линзы.
Любой параксиальный луч, проходящий через оптический центр не испытывает преломления.
Прямая, проходящая через оптический центр, называется осью линзы.
Ось линзы, проходящая через центры кривизны обеих сферических поверхностей, называется главной оптической осью.
Все остальные оси линзы называются также побочными.
Пусть на главной оптической оси в точке
находится светящаяся точка. Если бы
вторая сферическая поверхность
отсутствовала, то в результате преломления
на первой сферической поверхности в
сплошной среде – материале линзы –
возникло бы изображение
на расстоянии
.
Запишем для сферической поверхности:
.
Для данного случая:
.
После преломления на второй сферической
поверхности лучей от источника
возникает точка
,
являющаяся изображением
.
Из
.
Здесь
- расстояние от точки
до оптического центра линзы
.
Пусть по обе стороны линзы находится
одинаковая среда с абсолютным показателем
преломления
.
Сложим и
,
,
,
.
Это формула тонкой линзы. Здесь: знаки
считаются положительными, если отрезки
отложены вправо от центра линзы и
отрицательными, если отрезки отложены
влево от линзы.
При этом луч от источника распространяется слева направо.
Если знаки
одинаковы, то одна из сопряженных точек
мнимая, т.е. в ней пересекаются не сами
лучи, а их воображаемые продолжения.
Формуле тонкой линзы можно придать следующий вид
.
Обозначим:
- расстояние от предмета до линзы
- расстояние от изображения до линзы.
- радиус первой сферической поверхности,
на которую падают лучи.
- радиус второй сферической поверхности.
- положительные для выпуклых поверхностей и отрицательные для вогнутых.
.
