§4. Энергия и поток энергии. Вектор Пойнтинга

Теорема Пойнтинга. Исходя из представления о локализации энергии в самом поле и руководствуясь принципом сохранения энергии, можно заключить, что если в какой-то опреде­ленной области энергия уменьшается, то это может происхо­дить только за счет ее «вытекания» через границы рассматри­ваемой области (среда предполагается неподвижной).

В этом отношении существует формальная аналогия с законом сохранения заряда — уравнением .Смысл этого закона в том, что убыль заряда в данном объеме за единицу времени равна потоку вектора j сквозь поверхность, охватывающую этот объем.

Так и в случае закона сохранения энергии следует признать, что существует не только плотность энергии w в данной облас­ти, но и некоторый вектор S, характеризующий плотность потока энергии.

Если говорить только об энергии электромагнитного поля, то его полная энергия в данном объеме будет изменяться как за счет вытекания ее из объема, так и за счет того, что поле пе­редает свою энергию веществу (заряженным частицам), т. е. производит работу над веществом. Макроскопически это ут­верждение можно записать так:

(19)

где dA — элемент поверхности.

Это уравнение выражает теорему Пойнтинга: убыль энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом, плюс мощность Р, которую силы поля производят над зарядами вещества внутри данного объема.

В уравнении (19)

w — плотность энергии поля,

j — плотность тока, Е — напряженность электри­ческого поля. Следует отметить, что мощность Р в (19) может быть как по­ложительной, так и отрицательной. Последнее имеет место в тех случаях, когда положительные заряды в веществе движутся против направления поля Е или отрицательные — в противопо­ложном направлении. Например, так обстоит дело в точках сре­ды, где помимо электрического поля Е действует и поле Е* сто­ронних сил. В этих точках и если и по моду­лю , то jE в выражении для Р оказывается отрицательным.

Пойнтинг получил выражения для плотности энергии w и век­тора S, воспользовавшись уравнениями Максвелла.Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т. е. нет явления гистерезиса), то плотность энергии электромагнитного поля

(20)

Плотность же потока энергии электромагнитного поля — век­тор, называемый вектором Пойнтинга, — определяется как

(21)

Приложение.

Ротор поля В. Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о циркуляции вектора В, побуждает представить и эту тео­рему в дифференциальной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.

С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора В к пло­щади S, ограниченной контуром. Оказывается, это отношение стре­мится к некоторому пределу при S —> 0, причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором п нормали к плоскости контура, причем направление п связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали п к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля В и обозначают символом rot В. Таким образом,

где справа стоит проекция вектора rot В на нормаль п. Итак, в каждой точке векторного поля В имеется вектор rotВ, на­правление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rotВ определяется тем направле­нием нормали п площадки S, при котором достигается его максимальное значение. В математике получают выражение для rotВ в координатном пред­ставлении. Формально rotВ можно рассматривать как векторное произведение оператора на вектор В, т. е. как xB. Это позволяет записать векторное произведение xB с помощью определителя:

где е_х, е_y , е_z — орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля В, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля Е.

И так,

Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора В. Ротор поля В совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а его модуль xB равен μ₀ j.

Некоторые приближенные формулы (при α << 1)

Некоторые сведения о векторах

Греческий алфавит