Задача оптимальної заміни обладнання

При експлуатації виникає потреба заміни обладнання через фізичне та моральне старіння, зростаючі експлуатаційні витрати та витрати на ремонт, внаслідок чого відбувається зменшення прибутків.

При відкритті підприємства встановлено нове обладнання. Залежність продуктивності цього обладнання від часу його використання, а також залежність затрат на його утримання та ремонт при різному часі його використання наведено в таблиці 1.

Відомо, що затрати на придбання та встановлення нового обладнання складають 40 млн. грн., старе обладнання списується. Скласти такий план заміни обладнання протягом п’яти років, при якому загальний прибуток за даний період часу буде максимальним.

Таблиця 1

Показники	Вік обладнання
	0	1	2	3	4	5
Річний випуск продукції R(t), млн.грн.	80	75	65	60	60	55
Щорічні затрати Z(t) на утримання та ремонт обладнання, млн. грн.	20	25	30	35	45	55

Розв’язання

Позначимо через u₁ рішення про збереження обладнання, через u₂ – про заміну обладнання. Це рішення залежить від віку обладнання t.

Тобто необхідно визначити таку стратегію управління, що визначається рішеннями, які приймаються на початок кожного року таким чином, щоб загальний прибуток підприємства за п’ять років був максимальним.

Складемо рекурентне співвідношення Беллмана.

В залежності від того, буде замінене обладнання чи ні на початок k-го року, прибуток підприємства за відповідний рік складе:

(1)

Тобто, якщо буде прийняте рішення про збереження обладнання, то прибуток обчислюється як різниця між виручкою за продукцію та витратами на утримання обладнання.

Якщо ж прийняте рішення про заміну обладнання, то прибуток становитиме випуск продукції на новому обладнанні мінус затрати на утримання нового обладнання (t=0) та мінус витрати на придбання нового обладнання C_n

Отже, рівняння Беллмана матиме вигляд:

(2)

Розв’язок починаємо із визначення умовно оптимального рішення для останнього, п’ятого, року. Так як на початок роботи підприємства було встановлено нове обладнання, то до початку п’ятого року вік обладнання може становити 1, 2, 3 або 4 роки. (можливо, до цього в якомусь році відбулася заміна обладнання).

Враховуючи співвідношення (2) запишемо:

Оскільки це останній рік досліджуваного періоду, то F₆(t)=0.

Проведемо обчислення для всіх можливих значень .

Отже, умовно оптимальне рішення в даному випадку є u₁, тобто необхідно залишити обладнання.

Проведемо аналогічні обчислення для інших варіантів. Обчислення зведемо в таблицю 2.

Таблиця 2

Рік	u1	u2	max F5(t(5))	Вибір
1	75-25=50	80-20-40=20	50	u1
2	65-30=35	80-20-40=20	35	u1
3	60-35=25	80-20-40=20	25	u1
4	60-45=15	80-20-40=20	20	u2

Розглянемо можливі стани обладнання на початок 4-го року. Допустимими значеннями є t=1,2,3.

Для t=1 рекурентні співвідношення матимуть вигляд:

Обчислення зводимо в таблицю 3.

Таблиця 3

Рік	u1	u2	max F4(t(4))	Вибір
1	75-25+35=85	80-20-40+50=70	85	u1
2	65-30+25=60	80-20-40+50=70	70	u2
3	60-35+20=45	80-20-40+50=70	70	u2

Визначимо умовно оптимальні розв’язки для кожного з допустимих станів обладнання на початок 3-го року. Відповідно, t=1,2.

Рекурентні співвідношення:

Обчислення зводимо в таблицю 4.

Таблиця 4

Рік	u1	u2	max F3(t(3))	Вибір
1	75-25+70=120	80-20-40+85=105	120	u1
2	65-30+70=105	80-20-40+85=105	105	u2

Бачимо, що якщо на початок 3-го року вік обладнання становить 2 роки, то незалежно від того, яке буде прийняте рішення: про заміну обладнання чи збереження, прибуток буде той самий. Тому можемо в якості оптимального взяти будь-яке рішення, наприклад, про заміну обладнання.

На початок 2-го року: t=1.

Таблиця 5

Рік	u1	u2	max F2(t(2))	Вибір
1	75-25+105=155	80-20-40+120=140	155	u1

За умовою задачі, на початок першого року встановлено нове обладнання, тому питання про заміну не стоїть взагалі. Отже, умовно оптимальним буде рішення:

Таким чином, максимальний прибуток підприємства може становити 215 млн. грн.

Проведемо зворотний шлях, тобто визначимо, коли потрібно замінити обладнання (чи потрібно взагалі?).

Для першого року рішення єдине – зберегти обладнання. Отже, на початок 2-го року вік обладнання становитиме 1 рік. Тоді, у відповідності з даними таблиці 5, оптимальним рішенням для 2-го року є збереження обладнання. Таким чином, на початок 3-го року вік обладнання становитиме 2 роки. І тоді обладнання на 3-му році (табл. 4) необхідно замінити.

Після заміни обладнання на початок 4-го року вік обладнання становитиме 1 рік, і у відповідності до табл. 3, його необхідно зберегти. Таким чином, на початок 5-го року вік обладнання становитиме 2 роки і за табл. 2 його необхідно зберегти.

Оптимальний план заміни обладнання:

	Роки
	1	2	3	4	5
Оптимальне рішення	Зберегти обладнання	Зберегти обладнання	Провести заміну обладнання	Зберегти обладнання	Зберегти обладнання