4. Загальні властивості виробничих функцій

Для зручності запису назвемо властивості лише для випадку двофакторних функцій.

1. f(0,0) = 0. 1а. f(0,x₂) = f(x ,0) = 0.

Ці властивості свідчать про те, що без ресурсів не може бути виробницт­ва.

2. Якщо збільшується величина хоча б одного з факторів, то значення ВФ теж збільшуються, що означає умову: коли або , то виконується відношення .

Тобто і в області визначення ВФ.

Ця властивість означає, що при збільшенні величини будь-якого фактора обсяг виробництва теж збільшується. Наприклад, внесення добрив сприяє збіль­шенню врожайності.

3. Завжди і .

Збільшення величини певного ресурсу за умови фіксованості величини решти ресурсів хоча і викликає збільшення обсягу виробництва, але характер завжди такий, що збільшення величини ресурсу на кожну додаткову одиницю обумовлює спад приросту обсягу виробництва (закон спадаючої ефекти­вності).

4. Виробнича функція має бути однорідною функцією певного порядку р своїх аргументів, тобто .

Це означає, що зміна масштабів (мірила) одиниць вимірів виробничих факторів обумовлює зміну масштабу виміру одиниць обсягів виробниц­тва.

Якщо і , то маємо підвищення ефективності ви­робництва.

Якщо р<1 ( >1), маємо спад ефективності виробництва.

При р = 1 маємо сталу ефективність ви­робництва.

5. Визначення параметрів виробничих функцій

Конкретне представлення розв'язувальних рівнянь, які називаються системою нормальних рівнянь (розв’язувальних рівнянь), залежить від аналітичної форми пред­ставлення ВФ.

5.А. Лінійна парна регресія

Лінійна парна регресія має вигляд:

Параметри регресії обчислюються за формулами:

5.б. Двофакторна ВФ в лінійній три параметричній формі:

У формулі вплив величин вироб­ничих факторів на обсяг виробництва обумовлений лише останніми двома доданка­ми; величина а₀ визначає лише початок відліку обсягу виробництва.

Наприклад, при дослідженні ефективності збільшення врожайності в залежності від обсягів використовуваних добрив, величина а₀ визначатиме урожайність без використання добрив, тобто фа­ктичний ефект визначатиметься лише доданками а₁x₁+ а₂х₂.

Для функції

система розв'язувальних рівнянь має вигляд:

5.В. Нелінійні функції

Нелінійна парна регресія

Практика математичного моделювання соціально-економічних явищ і проце­сів свідчить, що не завжди можна користуватися лінійними моделями, оскільки мо­жуть виникати необґрунтовано значні похибки моделювання. У таких випадках використовують рівняння регресії, нелінійне по незалежній змінній.

Якщо рівняння регресії має вигляд

Параметри знаходять за МНК:

Нелінійні багатофакторні функції:

Якщо ВФ нелінійна стосовно параметрів а₁,а₂, ..., а_m, то система розв’язувальних рівнянь також буде нелінійною. Розв'язання таких систем виконується методами, побудова­ними з використанням поняття градієнта.

На практиці широко використовуються такі форми аналітичної залежності, які після відповідних перетворень можна привести в нових координатах відліку до лі­нійної.

Для дослідження економічного процесу в межах регіону або країни в цілому широко використовують ВФ у формі .

Така ВФ називається ВФ Кобба-Дугласа (ВФКД).

У літературі використовуються специфіковані позначення змінних цієї функції:

К - обсяг використаного основного капіталу (основні фонди);

L - обсяг затраченої живої праці.

Зведемо функцію до лінійного виду:

Вводимо нові змінні:

Отримаємо лінійну функцію: , параметри якої знаходимо за вже відомими формулами.