4.4 Визначник матриці

Загальний критерій оборотності матриці формулюється за допомогою поняття визначника (детермінанта). Детермінант матриці над полем є елементом поля . Він є функцією всіх елементів матриці і позначається через або .

Теорема (критерій оборотності матриці). Матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли .

Визначимо поняття детермінанту матриці порядку .

Розглянемо спочатку випадок, коли матриця порядку визначена над полем . У цьому полі операції додавання та віднімання збігаються.

Розглянемо всі підстановочних матриць порядку . Уявимо собі, що кожна з них записана у виді таблиці на окремому аркуші паперу у клітинку. Проріжемо у кожній таблиці віконця в тих клітинках, де елементи відповідної матриці дорівнюють одиниці. Одержимо, таким чином, сукупність підстановок у виді трафаретів. Накладемо кожен трафарет на матрицю і перемножимо всі елементи матриці, що з’явилися у віконцях. Результат назвемо членом визначника матриці, що відповідає підстановці .

Знайдемо суму над полем усіх членів визначника. Результат назвемо детермінантом (визначником) матриці над полем .

Сформулюємо тепер означення детермінанту для довільного поля.

Означення. Визначником матриці порядку над полем називається знакозмінна сума всіх членів визначника, що відповідають підстановкам групи : .

В розгорнутому вигляді формула для обчислення визначника матриці має вигляд:

.

Ця формула називається формулою повного розгортання визначника.

Іншими словами, визначником матриці називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків елементів , які беруться по одному з кожного рядка і з кожного стовпця. В кожнім добутку множники записуються в порядку слідування рядків , а номери стовпців визначаються образами . Сума містить доданків, доданки, які відповідають парним підстановкам, входять із знаком плюс, а які відповідають непарним підстановкам, входять із знаком мінус.

Неважко перевірити, що формула повного розгортання визначника при і приводить до вже відомих виразів. Наприклад, при

;

При

.

4.5 Подібні підстановки, задача Лагранжа

Підстановки називаються подібними, або спряженими ( ), якщо існує підстановка , така, що .

У деяких криптографічних застосуваннях виникає задача Лагранжа, яка полягає в знаходженні всіх розв’язків рівняння при заданих . Виявляється, що розв’язок рівняння Лагранжа існує тоді і тільки тоді, коли циклові структури підстановок і співпадають.

Розв’язки рівняння можна отримати за допомогою «оператора Лагранжа» .

Нехай , Розглянемо множину всіх різних перестановок циклів, що входять до циклічного запису підстановки (включаючи цикли довжини 1). Маємо . Виписування окремого циклу можна здійснювати з довільного елемента циклу, тобто з довільним циклічним зсувом вліво, наприклад, .

Нехай – довільний циклічний зсув вліво. Тоді можна записати ще у більшій кількості варіантів. Множину цих варіантів запису у виді позначимо через .

Оператор Лагранжа задає множину розв’язків рівняння , що будуються наступним чином:

1) виписуємо одну довільну перестановку циклів з множини , під нею почергово записуємо перестановки циклів з , але такі, щоб над відповідним циклом довжини з циклічного запису підстановки був розташований цикл з циклічного запису підстановки тієї ж довжини ;

2) будуємо чергову підстановку, забираючи дужки з запису циклів.

Приклад. Для заданих розв’язати задачу Лагранжа.

,

Розв’язання. Визначимо циклову структуру підстановок і : , . Оскільки циклові структури підстановок однакові, то розв’язки рівняння існують. Знайдемо множину розв’язків рівняння за допомогою «оператора Лагранжа» :

.

Забираючи дужки з запису циклів, будемо мати:

, .