Единичный платеж: будущая стоимость.

Будущая стоимость (FV – future value) – это стоимость инвестиций после одного или нескольких периодов времени.

Предположим, что мы сегодня вкладываем 1 д.е. на (n) лет при безрисковой ставке процента (r) с ежегодным начислением процентов. Сколько денег мы получим через n лет.

Расчет:

в конце 1-го года = (1+ r₁)

в конце 2-го года = (1+ r₁) + r₂ (1+ r₁)= 1+r₁+r₂+r₁r₂

в конце 3-го года = (1+ r₁)+ r₃ (1+ r₁)²= 1+r₁+r₂+r₃+r₁r₂ + r₁r₃ +r₂r₃+r₁r₂r₃

в конце n года =(1+ r₁)ⁿ если r₁=r₂=r₃

В системе расчетов заложен механизм исходной стоимости, процента и процента на процент.

Следует отметить, что с ростом (n) сумма ежегодно начисляемых процентов увеличивается линейно, а проценты на проценты растут геометрически, т.е. в четвертый год будет шестнадцать слагаемых, в пятый – тридцать два.

Для каждого инвестора очень важно это наращивание процента на проценты, т.е. значительное увеличение вложенных сумм идет не за счет годового процента, а за счет реинвестирования процента.

Т. образом будущая стоимость через (n) лет, т.е. в конце n-го года

FV _д.е. = (1+ r₁)ⁿ

FV _д.n. = с (1+ r₁)ⁿ , где с – величина денежного потока (д.п.)

Данная формализация возможна, если r₁=r₂ = …..r_n

Пример №2:

Мы вложили 1000д.е. на 5 лет под 8 % годовых. В конце этого периода мы получаем: 1000 (1 + 0,08)⁵ = 1469,33 д.е. Общая сумма процентов состоит из 400 д.е. ежегодного процента (80 д.е. х 5 = 400 д.е. ) и 69,33 д.е. сложных процентов (процент на процент).

Чем больше (n), тем больше значение дохода, приносимого сложным процентом.

Пример №3:

Если период (инвестиции могут быть годовыми, квартальными, месячными, недельными и т.д., поэтому используем термин «период») равен 64, то FV= 1000 (1+ 0,08)⁶⁴ =137759,11; из них 5220 д.е. (80 х 64 ) - ежепериодный процент; 131639,11 д.е. – сложные проценты.

Уравнение…..1.1 называется стандартной формулой сложного процента (компаундинга) для нахождения будущей стоимости сегодняшней суммы. Множитель (1+ r₁)ⁿ называется коэффициентом аккумулирования (наращивания, мультипликации) (accumulation factor - FVAF; factor of interesting - IF). Примем в качестве его обозначения аббревиатуру – FVIF.

FVIF = (1+ r₁)ⁿ … 1.3

2. Эмпирические правила, применяемые в финансах.

Полезной житейской мудростью в финансах являются два правила. Первое – «удвоение по 72», в соответствии с которым по широкому диапазону процентных ставок время удвоения вложенной суммы определяется как 72/r.

Пример №4:

При годовой ставке = 10 %инвестиции будут удваиваться через каждые 7,2 периода (72/10).

Иллюстрация будущей стоимости денег.

Пример: Сколько стоит остров.

Часто в англоязычных источниках для иллюстрации расчета будущей стоимости денег рассматривается пример по покупке манхеттенского острова (В. Хорн, С.Росс), который является нагляднейшей иллюстрацией капитализации процентов. Обратимся к этому примеру. Питер Миньют купил весь манхеттенский остров, заплатив $24 индейцам. Сегодня эта сумма кажется смехотворной, но применительно к концепции временной стоимости денег индейцы оказались бы в выигрыше, если бы вложили $24 под 10% годовых. Со дня сделки прошло приблизитеьлно375 лет. Сколько стоят $24 сегодня.

FVIF = (1+ r₁)ⁿ = 1,1³⁷⁵

FV = квадриллиона

на эти деньги сегодня можно купить США и весь мир в придачу.

Следует отметить, что основу этой суммы составляет капитализация процентов.