§2. Теорема Коши (Интегральная)
ТЕОРЕМА 1. (Коши) Пусть дана функция , аналитичная в области . .
Тогда интеграл от
по любому замкнутому несамопересекающемуся
кусочно-гладкому контуру
равен 0:
.
Замечание. Такой контур (несамопересекающийся, кусочно-гладкий) будем называть кривой Жордано. (Без доказательства)
ТЕОРЕМА 2.
(Обобщённая теорема Коши)
Пусть
(т. е. аналитичная в
и непрерывная в
.
- Жорданова
кривая. Тогда
.
(Без доказательства)
ТЕОРЕМА 3.
(Интегральная формула Коши) Пусть
аналитична в
,
где
- односвязная область, её граница
- кусочно-гладкая Жорданова кривая,
.
Тогда
(Верхний случай –
точка внутри области. Нижний – точка
вне области. Доказательство нулевого
результата вытекает из теоремы 2. В
случае принадлежности точки к границе
области (
)
на пути интегрирования попадается
сильная неинтегрируемая особенность
(В одной из точек придётся делить на 0,
невозможно взять интеграл Коши). Этот
случай в данном курсе не рассматривается.)
Пример. Вычислить
в случаях а)
охватывает
,
но не включает
.
б) Наоборот в)Охватывает обе точки
Решение.
а)По интегральной формуле Коши
.
Получим
б)Аналогично
в)Разделим
особенности
Можно разбить контур на два более простых (с общей границей) и проинтегрировать по каждому.
Некоторые следствия
ТЕОРЕМА 4. (Ллувилля) Если функция аналитична и ограничена на по модулю на всей комплексной плоскости, то она постоянна.
(
)
Доказательство: 1)Сначала оценим интеграл, используя интегральную формулу Коши.
С
другой стороны из свойств интеграла
получим:
Т. к.
,
а
(это длина окружности), по теореме об
интегральном среднем выносим максимум.
2)
по свойствам модуля.
,
т. е.
для произвольных
.
§3. Ряд Лорана
Степенные ряды, в том числе ряды Тейлора, на действительной оси и на комплексной плоскости имеют много общего и верны основные результаты:
Для разложения ФКП в ряд Тейлора лучше пользоваться стандартными разложениями.
Наиболее близок к степенному ряду ряд вида
(1)
- ряд Лорана (по
степеням
или относительно точки
).
ТЕОРЕМА 1. (Лорана)
Пусть функция
аналитична в кольце
.
Тогда внутри
(т. е. для любой точки
разлагается в ряд Лорана
, где
Замечания:
1) В окрестности бесконечно удалённой
точки
функция
разлагается в ряд Лорана по степеням
,
т. е. функция
.
2) В окрестности
конечной точки
можно выделить
.
Здесь первая сумма – главная (иррегулярная) часть ряда Лорана, вторая сумма – правильная (регулярная) часть ряда Лорана. Поведение иррегулярной части тяжело описать аналитически.
По ряду Лорана будем судить об аналитичности функции в точке.
- имеем ошибку
деления на 0 в
.
3)Относительно точки имеем
,
Где первая сумма
– правильная часть ряда,
;
вторая сумма – главная часть ряда
Лорана, даст особенности на бесконечно
удалённой точке.
Упражнение
(Пример 2). Разложить
функцию
в ряд Лорана
в окрестности точки а)
б)
,
в обоих случаях выделить главную и
правильную части.
Решение.
а)
.
- главная часть, на нуле обращается в
.
б)
.
В
обращаются
.