3.2 Перечень педагогических контрольных материалов
3.2.1 Варианты контрольных работ.
К.р. №1
Привести к каноническому виду уравнение
.
Найти общее решение уравнения:
.
Решить задачу Коши для бесконечной струны:
.
Решить следующую задачу:
.
К.р.№2
Найти решение задачи Коши для волнового уравнения на плоскости:
.
Найти решение задачи Коши для волнового уравнения в пространстве
.
Решить задачу для волнового уравнения в прямоугольнике:
Решить задачу доля волнового уравнения в круге:
К.р. №3
1. Решить задачу
Коши
Найти решение задачи:
Найти решение задачи:
Решить смешанную задачу в прямоугольнике
:
К.р. №4
Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге
Решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате
:
Решить краевую задачу для уравнения Пуассона в кольце
Решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона
в полупространстве
при нулевом граничном условии.
3.2.2 Экзаменационные вопросы по семестрам по дисциплине «Уравнения математической физики»
6 Семестр
Формула интегрирования по частям.
Первая вариация функционалов. Примеры.
Уравнение Эйлера многомерной вариации. Задачи.
Естественное граничное условие.
Уравнение колебания струны.
Уравнение колебания мембраны.
Уравнение теплопроводности.
Преобразование независимых переменных в уравнении второго порядка.
Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго порядка.
Характеристики и задачи Коши для уравнений второго порядка.
Краевые задачи. Смешанные задачи.
Понятие корректной задачи. Корректность постановок основных задач математической физики. Пример Адамара.
Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера.
Устойчивость решений.
Формула Пуассона.
Формула Кирхгофа. Принцип Гюйгенса.
Задача Коши для неоднородного волнового уравнения.
Формально сопряженные операторы и формула Грина.
Задачи Штурма-Лиувилля. Полнота систем собственных функций и собственных значений.
Уравнение свободных колебаний струны.
Неоднородные уравнения.
Общая первая краевая задача.
Колебания прямоугольной мембраны.
Уравнения Бесселя.
Некоторые свойства функций Бесселя.
Колебания круглой мембраны.
Распространение волн в цилиндре.
Полиномы Лежандра.
Присоединенные функции Лежандра.
Распространение волн в шаре.
7 Семестр
Задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Принципы максимума для ограниченной и неограниченной области.
Задача Коши для неоднородного уравнения теплопроводности.
Постановка краевых задач.
Теорема единственности задачи Коши.
Однородная краевая задача.
Неоднородное уравнение теплопроводности.
Общая 1-я краевая задача.
Распространение тепла в прямоугольнике.
Распространение тепла в круге.
Распространение тепла в цилиндре.
Распространение тепла в шаре.
Гармонические функции. Основные свойства.
Внутренняя и внешняя задачи Дирихле.
Решение задачи Дирихле для круга. Интеграл Пуасона.
Задача Дирихле в кольце для уравнения Лапласа.
Краевые задачи для уравнения Пуассона в кольце и круге.
Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольнике.
Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в ограниченном цилиндре.
Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в шаре.
Функция Грина. Функция Грина для полуплоскости.
Функция Грина для круга и для шара.
Применение функции Грина к решению краевых задач.
Теорема единственности для задачи Дирихле.
Метод Ритца.
Метод Галеркина
Метод Канторовича.
Метод конечных разностей (метод сеток).
Устойчивость и сходимость сеточной схемы.
Метод прямых.
Педагогические контрольные материалы хранятся на кафедре ВМ. Экзаменационные вопросы выдаются студентам.