Характеристики разброса

Одной характеристики положения недостаточно для представления о случайной величине. Например, чем различается продукция мастера от продукции ученика? Они оба придерживаются одного задания и намерены изготавливать детали строго по чертежу. Но большая часть продукции ученика является браком, так как размеры его деталей часто выходят за пределы допуска; в то же время практически вся продукция мастера принимается. Таким образом, продукция мастера и ученика отличается разной изменчивостью.

Наиболее простой характеристикой изменчивости (разброса, рассеивания) является размах – разность между максимальным и минималь­ным значениями случайной величины: d = x_max – x_min . К сожалению, размах – нестабильная характеристика, она зависит только от предельных значений величины, которые имеют малую вероятность появления (и в малой партии могут не появиться). Основными же характеристиками разброса является дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Для каждой детали имеется какое-то отклонение от заданного размера (центра группировки, математического ожидания): (x_i – a). Большие отклонения встречаются редко, а малые – значительно чаще. Возникает идея, характеризовать меру изменчивости "средней величиной отклонения": М(x ‑ a) = (x_i – a)p_i . Ожидается, что чем больше "среднее отклонение", тем будет больше случайная изменчивость, тем должен быть большим разброс данных вокруг центра а. Однако, как будет показано далее, "среднее отклонение" оказалось всегда равным нулю (и для мастера, и для ученика) из-за разных знаков отклонений.

Для того, чтобы погасить знаки, все отклонения предварительно возводят в квадрат и находят "средний квадрат отклонения" D(x) = М(x ‑ a)² = (x_i ‑ a)²p_i . Эта характеристика называется дисперсией (в переводе – разброс). Вычислим ее на примере задачи о лотереи, где уже определено математическое ожидание а = 0,9:

D(x) = (0 – 0,9)² 0,5 + (1 – 0,9)² 0,3 + (2 – 0,9)² 0,15 + (5 – 0,9)² 0,04 + (10 – 0,9)² 0,01 =

= 0,810,5 + 0,010,3 + 1,210,15 + 16,810,04 + 82,810,01 = 2,09.

Однако не очень удобно, что размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Поэтому извлекают корень квадратный из дисперсии и полученную характеристику называют "средним квадратичес­ким отклонением"; по традиции ее обозначают греческой буквой сигма: . Обычное среднее отклонение (взвешенное среднее) равно нулю, поэтому используют среднее квадратическое (взвешенное с весами p_i). Вместо "среднего квадратического отклонения" часто употребляют выражения "стандартное отклонение" и даже "стандартная ошибка". Но надо сразу предостеречь против последнего словосочетания. За рубежом различают термины Standard Deviation (стандартное отклонение) и Standard Error (стандартная ошибка). Последняя величина равна и в нашей литературе называется "ошибкой среднего" (о ней будет сказано позже). Для примера с лотереей .

Иногда увеличение среднего размера (математического ожидания) сопровождается одновременным увеличением разброса. Для характеристики изменчивости таких случайных величин может оказаться полезным коэффициент вариации, который равен . Если коэффициент вариации оказывается меньшим 2% , то такую случайную величину считают константой (ее изменчивостью можно пренебречь). Сверху коэффициент вариации не ограничен. Для примера с лотереей .