Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики предназначены для количественного описания различий между случайными величинами. Они подразделяются на следующие группы.

Характеристики положения, к которым относятся мода, медиана и математическое ожидание;

Характеристики разброса, к которым относятся размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;

Характеристики формы, к которым относятся моменты распределе­ния, коэффициенты асимметрии и плосковершинности.

Для непрерывной случайной величины используются еще, так называе­мые, квантили (одним из квантилей является медиана). Эти характеристики рассмотрим позже при изучении непрерывных случайных величин.

Характеристики положения

Мода (Мо) – это наивероятнейшее значение случайной величины Р(х = Мо) = max{p_i}. Для одновершинного (одномодального) распределения мода (значение х_i с наибольшей вероятностью p_i) является наглядной харак­теристикой положения. Как видим, эта мера не является универсальной.

Основной же характеристикой положения является математическое ожидание.

Математическое ожидание – это центр, вокруг которого группируют­ся значения случайной величины, "среднее" ее значение. На рис. 3.1 показана смесь двух одновершинных распределений (их полигоны изображены тонкими линиями). Видно, что значения первой случайной величины группируются вокруг значения М₁ = 5, а второй – вокруг М₂ = 12,5.

Для того, чтобы понять, как следует правильно вычислять эту характеристику, рассмотрим пример организации лотереи.

X	0	1	2	5	10
m	50	30	15	4	1
p	0,5	0,3	0,15	0,04	0,01

Пусть выпущено n = 100 лотерейных билетов. Разыгрываются денежные призы от 1 грн. до 10 грн. Выигрыши (значения случай­ной величины X) и соответствующие количества выигрышных билетов (m) перечислены в таблице; в последней ее строке вычислены вероятности выигрышей. Какова должна быть цена одного билета? Каков ожидаемый средний выигрыш на один билет?

Для ответа на этот вопрос подсчитаем общую сумму выигрышей и разделим ее на количество билетов:

.

Стоимость одного билета (ожидаемый средний выигрыш на один билет) оказалась равной 90 коп. Такого выигрыша в таблице нет, т.е. математическое ожидание – условная величина. Формула, которую мы получили для этого частного случая случайной величины, есть формула для вычисления "среднего взвешенного", где в качестве весов выступают частоты m_i или вероятности выигрышей p_i . Эта же формула применяется для определения центра тяжести системы грузов m_i , расположенных в точках с абсциссами х_i , или центра тяжести полигона.

Полученную формулу можно преобразовать к виду:

М(х) = х₁р₁ + х₂р₂ + х₃р₃ + х₄р₄ + х₅р₅ = 00,5 + 10,3 + 20,15 + 50,04 + 100,01 = 0,9.

Для общего случая дискретной случайной величины имеем:

,

где k может быть бесконечным (k = ). Математическое ожидание – это число, а обозначение М(х) похоже на обозначение функции. Предлагаем, там где это возможно, обозначать математическое ожидание буквой а.

Кстати, в англо-американской литературе математическое ожидание обозначается Е(х) – от слова expect – ожидание.

Для симметричных одномодальных распределений математическое ожидание совпадает с модой (и медианой).