Оценка значимости корреляционной связи

Коэффициент детерминации (и коэффициент корреляции) представляет собой меру тесноты связи выбранной формы. Ошибка неверного выбора вида уравнения регрессии (ошибка спецификации модели) может привести к совершенно неверным выводам относительно оценки тесноты реально существующей связи. В некоторых случаях, когда данные опыта даны в нескольких повторениях, можно найти меру чисто случайной изменчивости (дисперсию данных по повторениям – дисперсию "внутри групп"); тогда вычисляют более объективную меру тесноты связи – индекс детерминации (и корреляционное отношение). В отличие от коэффициента детерминации , при вычислении индекса детерминации не используются никакие предположения о форме корреляционной связи.

Однако параллельные наблюдения (повторения) имеют место только для планируемых опытов (активных экспериментов), что характерно для опытов физических, химических, биологических, там, где исследователь может контролировать условия опыта. В экономике же данные представляют собой наблюдения неконтролируемого процесса (пассивный эксперимент), поэтому варианты опыта почти никогда не повторяются.

Выше уже говорилось, что при понижении шкал измерения теряется какая-то часть информации, но выводы анализа становятся более общими, более объективными. При анализе парных зависимостей полезно перейти к дискретным шкалам измерения обеих переменных, т.е. произвести двойную группировку данных на несколько небольших интервалов по осям X, Y.

	X1	X2	X3	…	Xp	l=m
Y1	m11	m21	m31	…	mp1	l1	v1
Y2	m12	m22	m32	…	mp2	l2	v2
…	…	…	…	…	…	…	…
Yq	m1q	m2q	m3q	…	mpq	lq	vq
k=m	k1	k2	k3	…	kp	n
	u1	u2	u3	…	up

Если обозначить через X_i  и Y_j центры интервалов, то для каждой клетке таблицы разме­ром p  q можно подсчитать частоты m_ij , количества наблю­дений, попадающих в данную клетку. Все данные, попадающие в одну клетку таблицы с центром (X_i , Y_j), считаются одинаковыми (это вносит в расчеты некоторую ошибку группировки). Сумма всех частот равна общему количеству данных n = m_ij . Часто такую таблицу называют "корреляционной".

Теперь суммирование по всем наблюдениям должно учитывать частоты повторения одинаковых данных, например, [xy]  m_ijX_iY_j . Сравнительные расчеты коэффициента корреляции по исходным r_xy и по сгруппированным r_XY данным дают представление о величине ошибок группировок.

Переход к сгруппированным данным позволяет получить дополнитель­ную информацию о форме связи, получить более объективную меру тесноты существующей корреляционной связи и даже скорректировать наши предположения о возможном направлении причинно-следственных связей. Имея таблицу сгруппированных данных, можно для каждого значения X_i вычислить средние групповые , где – суммы частот по столбцам таблицы. Аналогично, для каждого значения Y_j  можно вычислить средние групповые , где – суммы частот по строкам таблицы.

Теперь появилась возможность для каждой из сопряженных зависимостей вычислить индексы детерминации

,

которые показывают, какая часть полной изменчивости результативной переменной объясняется наличием корреляционной связи (произвольного типа, не обязательно линейного). Оба корреляционных отношения превышают абсолютную величину коэффициента корреляции (вычисленного по сгруппированным данным):

_y/x , _x/y > | r_XY |.

Если одно из корреляционных отношений существенно превышает другое, то это является доводом в пользу выбора соответствующего направления причинно-следственных связей.

Кусочно-линейные графики средних групповых (X_i , u_i) и (v_j , Y_j) называются "эмпирическими линиями регрессии". Эти графики дают возможность визуально определить вид нелинейности и выбрать более подходящую форму связи, чем традиционную линейную форму, которая часто принимается по умолчанию.

С помощью дисперсионного анализа проверяется значимость наиболее тесной корреляционной связи. Если в результате дисперсионного анализа окажется, что корреляционная связь – незначимая, то незачем проводить регрессионный анализ связи заданной формы, она также будет незначимой.

Ниже приведена заполненная таблица дисперсионного анализа 2 для проверки значимости корреляционной связи у / х, причем суммы квадратов SSU = ²SSY и SS = (1 – ²)SSY выражены через общую сумму квадратов SSY и индекс детерминации .

Таблица дисперсионного анализа 2 для оценки значимости корреляционной связи

Источник изменчивости	Суммы квадратов	ЧСС	Средние квадраты	Дисперсионное отношение
Средние групповые	SSU = 2SSy	dfU = p – 1	MSU = SSU / dfU	F = MSU / MS
Случайность	SS = (1 – 2)SSy	df = n – p	MS = SS / df
Общая		dfy = n – 1

Получено следующее выражение для дисперсионного отношения Фишера

,

которое надо сравнивать с табличными значениями F_0,05(dfU; df) и F_0,01(dfU; df).

Если окажется, что F_ < F_0,05 , делаем вывод об отсутствии корреляционной связи (какой-угодно формы).