Теорема о полной вероятностей

Данная теорема применяется для решения часто встречающейся специфичной задачи, поэтому сочтено полезным запомнить конечный результат в виде отдельной теоремы:

Событие А появляется совместно с одним из событий Н_i , которые называются "гипотезами" и составляют полную группу несовместных событий. Даны вероятности гипотез p(Н_i) и условные вероятности появления события А в присутствии каждой гипотезы p(A|Н_i). Требуется найти вероятность события А.

Составим полную группу несовместных событий для случая 3-х гипотез Н₁ , Н₂ , Н₃ , в присутствии которых может появиться или не появиться событие А. Эти три гипотезы сочетаются с двумя альтернативами – А или . Всего событий в полной группе будет 3  2 = 6. Вероятности каждой такой комбинации вычисляем по теореме умножения.

№	Н	А	Вер.
1	Н1	A	р(Н1)p(A|H1)
2	Н2	A	р(Н2)p(A|H2)
3	Н3	A	р(Н3)p(A|H3)
4	Н1
5	Н2
6	Н3

В составленной таблице полной группы событий только в первых трех появляется событие А. Ввиду несовместности событий полной группы вычисленные вероятности надо сложить:

p(A) = p(H₁)p(A|H₁) + p(H₂)p(A|H₂) + p(H₃)p(A|H₃).

Полученная формула составляет суть теоремы о полной вероятности.

Пример 1. Студент знает ответы на m билетов из n. Что для него выгоднее – сдавать экзамен первым, или последним?

Если он идет сдавать первым, то вероятность успешной сдачи экзамена равна р(А) = ^m/_n .

Если же студент идет сдавать экзамен вторым, то предшествующий студент уже получил один билет. Какой именно? Имеют место две гипотезы: или изъят билет "хороший" (вероятность этой гипотезы р(H₁) = ^m/_n ), или изъят "плохой" билет (вероятность этой гипотезы р(H₂) = ^(n–m)/_n ). Шансы второго студента на успех существенно зависят от того, какая гипотеза будет реализована в действительности: р(A|H₁) = ^(m–1)/_(n–1) ; р(A|H₂) = ^m/_(n–1) . Согласно теореме о полной вероятности, p(A) = p(H₁)p(A|H₁) + p(H₂)p(A|H₂) = . Шансы на успех для 2-го студента не изменились.

В качестве полезного упражнения предлагается вычислить полную вероятность успеха для 3-го студента.

Пример 2. На конвейер детали поступают от 3-х поставщиков. Первый поставщик (гипотеза H₁) поставляет m₁ деталей, второй (гипотеза H₂) – m₂ деталей, третий (гипотеза H₃) – m₃ деталей; всего n = m₁ + m₂ + m₃ . Известны вероятности брака (доля бракованных изделий) для каждого поставщика: для 1-го поставщика она равна , для 2-го – , для 3-го – . Какова вероятность брака на конвейере?

Эту задачу можно решить, не обращаясь к теореме о полной вероятности (естественно, получим тот же самый результат). Найдем количество поставленных бракованных изделий от каждого поставщика: ; всего на конвейере k = k₁ + k₂ + k₃  бракованных деталей. Вычисляем вероятность брака на конвейере:

.

В результате опять получена формула полной вероятности. Из вышеприведенного выражения также следует, что полная вероятность р(А) есть среднее взвешенное из условных вероятностей р(A|H_i) с весовыми коэффициентами m_i или р(H_i).