Интервальная оценка для математического ожидания

Как уже указывалось выше, статистика распределена по закону Стьюдента с df = n – 1. Тогда с уровнем доверия Р = 1 –  выполняется условие . Это неравенство можно разрешить относительно а: . Мы получили доверительный интервал со случайными границами, который с вероятностью Р = 1 –  накрывает неизвестное значение математического ожидания (центра всей совокупности). По результатам обследования относительно малой выборки сделано заключение о важнейшей характеристике генеральной совокупности.

Математическое ожидание оценивается с уровнем доверия Р = 1 –  и погрешностью . Погрешность можно выразить в процентах от (относительная погрешность): , где – коэффициент вариации.

Теперь мы можем сформулировать три вида стандартных задач.

1. При заданном уровне доверия Р можно определить погрешность оценки математического ожидания .

2. При заданной погрешности  можно найти уровень доверия Р.

3. Можно определить объем выборки, для которого с заданной надежностью (уровнем доверия Р = 1 – ) погрешность в оценке математического ожидания не превзойдет некоторого заданного значения; предельное значение погрешности обычно задается в процентах   q% .

Рассмотрим решение этой задачи. Из выражения для относительной погрешности имеем: , откуда . Полученное неравенство еще предстоит решать итерациями, т.к. табличное значение квантиля t_ зависит от ЧСС, которое здесь равно df = n – 1.

Пример. Пусть принят уровень доверия P = 0,95 (соответственно, уровень значимости  = 0,05). Предельная относительная погрешность принята равной q = 5% . Тогда .

Если v_x = 20% , то . Принимаем t_0,05 = 2 (предельное значение для больших n) и получаем n  162² = 64. Проверяем: df = n – 1 = 63, далее по таблице Стьюдента находим t_0,05(63) = 2. Процесс закончился за одну итерацию: n = 64.

Если v_x = 10% , то . Принимаем t_0,05 = 2 и получаем n  42² = 16. Проверяем: df = n – 1 = 15, далее по таблице Стьюдента находим t_0,05(15) = 2,1. Новое значение n  42,1² = 17,6 дает верхнюю границу n = 18. Проверяем среднее значение n = 17, df = 17 – 1 = 16; далее по таблице Стьюдента находим t_0,05(16) = 2,1. Процесс закончился за две итерации: n = 17.

Если v_x = 5% , то . Принимаем t_0,05 = 2 и получаем n  2² = 4. Проверяем: df = 4 – 1 = 3, далее по таблице Стьюдента находим t_0,05(3) = 3,2. Новое значение n  3,2² = 10,2 дает верхнюю границу n = 11. Проверяем среднее значение n = 8, df = 8 – 1 = 7; далее по таблице Стьюдента находим t_0,05(7) = 2,4. Новое значение n  2,4² = 5,8 дает границу n = 6. Проверим эту границу: n = 6, df = 6 – 1 = 5, t_0,05(5) = 2,6, n  2,6² = 6,8, откуда получаем n = 7. Процесс закончился за пять итераций: n = 7.

Если v_x = 2% , то . Принимаем t_0,05 = 2 и получаем n  0,162² = 0,64. Принимаем n = 2, df = 2 – 1 = 1, t_0,05(1) = 12,7, n  0,1612,7² = 25,8. Это явно завышенная оценка, поэтому проверяем следующее значение n = 3, df = 3 – 1 = 2, t_0,05(2) = 4,3, n  0,164,3² = 3,0. Процесс закончился. Достаточно n = 3.

Для еще меньших значений коэффициента вариации v_x < 2%  случайную величину можно считать постоянной (ее изменчивостью можно пренебречь).