Критерий согласия Колмогорова – Смирнова

Это самый простой (и самый ненадежный) критерий. Основан он на сравнении интегральных функций распределения – теоретической F(s_j) и эмпирической (кумуляты). Статистика Колмогорова – Смирнова имеет вид: . Если вычисленное значение KS оказывается меньше 1,36 , теоретический закон принимается; если же KS оказывается больше 1,63 , теоретический закон отвергается.

Очень простой критерий, но есть одна маленькая деталь – теоретический закон должен быть известен полностью, включая знание значений его параметров.

При применении критерия Пирсона неизвестные параметры теоретического закона заменялись на свои выборочные оценки и вместо теоретической интегральной функции F(s_j) использовалась интегральная функция , которая "подогнана под данные выборки". Из-за этого сравниваемые законы получались более согласованными, чем это есть в действительности, но этот нежелательный эффект нейтрализовывался соответствующим уменьшением числа степеней свободы.

Если же, применяя критерий Колмогорова – Смирнова, мы заменяем параметры распределения на его оценки, то верить критерию KS можно только когда он отвергает предполагаемый закон. Критерий KS – слишком "либеральный" и склонен часто принимать не совсем верные теоретические законы. Так, для примера, который был рассмотрен выше, критерий KS не нашел существенных различий в эмпирическом и нормальном распределениях.

Интервальные оценки характеристик и параметров

О ценки, которыми мы пользовались до сих пор, представляли собой одно число, поэтому они называются "точечными". Выше уже указывалось, что многие оценки являются "статистиками", указывая этим, что известен закон их распределения.

В таком случае можно опреде­лить границы случайного изменения оценки К (границы доверительного интервала с заданным уровнем доверия Р = 1 – ) как квантили и (см. рис. 11.3). Доверительный интервал со случайны­ми границами (выборочные квантили) накрывает неизвестное генеральное значение статистики с заданным уровнем доверия Р, и не накрывает – с уровнем значимости  (т.е. с малой вероятностью  наши интервальные оценки могут быть ошибочными).

Впервые интервальную оценку (для дисперсии) построил К. Пирсон.

Рассмотрим случайные величины x_i , распределенные по нормальному закону с одинаковыми характеристиками: x_i ~ N(a; _x). Известно, что среднее этих случайных величин также имеет нормальное распределение с тем же центром . Тогда случайные величины будут распределены по стандартному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а сумма их квадратов – по закону Пирсона:

Строим доверительный 90%-ный интервал этой статистики , откуда получаем 90%-ный доверительный интервал для дисперсии: . С уровнем доверия Р = 0,9 этот интервал со случайными границами накрывает неизвестное нам значение генеральной дисперсии.

Математическое ожидание статистики ²  равно df_x – числу степеней свободы разностей : Отсюда получаем несмещенную оценку дисперсии в виде: , т.к. .

Осталось определить число степеней свободы, от которого зависят границы доверительного интервала. Если случайные величины – взаимно независимые, то для разностей имеется только одна связь (центральное свойство среднего). В этом частном случае df_x = n – 1. Если же на разности наложены еще какие-то связи (их количество обозначим через l), то df_x = n – l –1.