Лекция 9. Проблемы математической статистики

Цели теории вероятностей и математической статистики, в некоторой мере, противоположны. В теории вероятностей, зная теоретическое распределение случайных величин, пытаются предсказать результаты опыта (с заданной надежностью и погрешностью). В математической статистике, наоборот, по результатам эмпирического обследования пытаются сделать заключения о теоретическом распределении случайных величин.

Слово "статистика" имеет корнем слово State (государство), т.к. управ­ление государством требует учета большого объема сведений из самых различных отраслей хозяйства, здравоохранения, внешнеполитической обстановки т.п. Задача математической статистики – свести эти "простыни цифр" (выражение акад. А.Н. Крылова) до немногих понятных характеристик.

Кратко цель математической статистики можно сформулировать как разработку методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений.

Назовем "совокупностью" или "генеральной совокупностью" все мыс­лимые наблюдения изучаемой случайной величины. Количество этих наблюдений – "объем совокупности" – очень большой и часто бесконечный. Например, при бросках монеты объем генеральной совокупности бесконечен, монету можно подбрасывать все время без остановок. Если обследуется качество продукции, то в генеральную совокупность включаются все когда-либо произведенные изделия данного типа. Естественно, невозможно испытать все элементы генеральной совокупности, тем более, что некоторые испытания связаны с уничтожением образца (как, например, проверить вкусовые качества фруктов?). На анализ отбирается сравнительно малая часть совокупности, которая называется "выборкой". Обычно обозначают через N – объем совокупности (если она конечная), а через n – объем выборки; естественно, объем выборки существенно меньше объема совокупности n << N.

В связи с этим возникает проблема правильного отбора образцов в выборку. Ведь можно в выборку отобрать (сознательно или не подозревая этого) одни бракованные элементы и на основании статистического обследования такой выборки получить совершенно неверные выводы. Выборка должна быть "репрезентативной" ("представительной"), т.е. правильно представлять совокупность.

Любые характеристики, вычисленные по данным выборки, называются "оценками". Например, относительная частота ^m / _n  является оценкой вероятности р, среднее (центр выборки) является оценкой математического ожидания М(х) (центра всей совокупности). Естественно, оценки должны быть "доброкачественными" и удовлетворять некоторым обязательным условиям. Правила составления доброкачественных оценок составляют проблему статистичекого оценивания числовых характеристик и параметров распределения случайных величин.

В "описательную статистику" кроме оценок числовых характеристик входят также эмпирические оценки функций распределения и способы графического представления особенностей распределения данных.

На основании статистического обследования делаются некоторые выводы относительно значимости определяемых характеристик, особенностей распределения, существования или отсутствия связей, проверки однородности совокупности и т.д. Круг этих вопросов составляет проблему проверки статистичеких гипотез.