Вопросы для самопроверки

1. Разъясните понятие "случайное событие".

2. Что такое "вероятность"?

3. Какие известны способы определения вероятности?

4. Что такое "невозможное событие"?

5. Что такое "универсум", привести синонимы.

6. Что такое "совместные" и "несовместные" события?

7. Перечислить основные операции с событиями.

8. Что такое "противоположные события", как связаны их вероятности?

9. Что такое "полная группа несовместных событий"?

10. Как геометрически изображаются события с разной вероятностью?

11. Что такое "элементарные исходы"?

12. Привести статистическое определение вероятности.

13. Привести классическое определение вероятности.

14. Какие есть еще способы определения вероятностей?

15. Сформулировать аксиому сложения.

16. Что такое "условная вероятность"?

17. Что такое "независимые события"

Лекция 2. Теоремы о вероятностях

Вероятности исходных простых событий определяются одним из описанных выше способов (см. лекцию 1), вероятности прочих утверждений уже рассчитываются с помощью теорем.

Теорема умножения вероятностей

Проще всего эта теорема формулируется и доказывается для частного случая независимых событий:

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей р(АВ) = р_Ар_В .

Н а студенческом жаргоне теорема формулируется так: "Вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей" – запоминается легче, но требуются дополнительно пояснить смысл словосочетания "произведение событий", и уточнить, для всех ли событий справедливо такое утверждение.

Рассмотрим две урны с разным количеством шаров (n₁ и n₂) и разным количеством белых шариков (m₁ и m₂) среди них (рис. 2.1). Достаем по одному шарику из каждой урны. Какова вероятность, что они оба белые?

Общее количество эле­ментантарных исходов при извлечении шаров одновременно из двух урн равно n = n₁  n₂  (каждый шарик из 1-й урны сочетается с каждым шариком из второй урны). Число элементарных исходов, при которых появляются два белых шарика, равно m = m₁  m₂  (каждый белый шарик из 1-й урны сочетается с каждым белым шариком из второй урны). Обозначим через А – появление белого шарика из 1-й урны, через В – из 2-й. Эти события – независимые. Тогда получается

(утверждение теоремы умножения вероятностей для независимых событий).

Для зависимых событий теорема умножения формулируется так:

Вероятность совместного появления двух событий равна произведе­нию вероятности одного из них на условную вероятность другого.

p(AB) = p(A)p(B|A) или p(AB) = p(B)p(A|B)

Сразу отметим, что выражения "одно и другое событие" не эквивалентно понятиям "первое и второе событие" – здесь порядок не важен.

Р ассмотрим следующий набор элементарных исходов (рис. 2.2). Общее их количество – n, из них в m исходах появляется признак А, в k исходах появляется признак В, в l исходах появляются совместно А и В.

Вероятности этих событий: p_A = ^m/_n , p_B = ^k/_n , p_AB = ^l/_n .

Что означает отношение  ^l/_m ? В знаменателе дроби стоит количество исходов с признаком А, а в числителе – сколько из этих исходов дополнительно имеют признак В. Следовательно, указанное отношение представляет собой условную вероятность p_B|A =  ^l/_m . Аналогично, p_А|В =  ^l/_k .

Тогда получаем: p_AB = ^l/_n =  ^m/_n ^l/_m = p_Ap_B|A .

Аналогично: p_AB = ^l/_n =  ^k/_n ^l/_k = p_Bp_A|B .

Что и требовалось доказать.

Внешний вид теоремы умножения зависит от типа событий.