10.3.3. Наближені обчислення
Тут ми також обмежимось кількома прикладами. Див. також детально розглянутий Приклад 27 в п. 9.3.1.
Приклад 28. Знайти
наближене значення
кореня
.
Скористаємось біномним
рядом (19) для
,
тобто (перевірте!)
( 31 )
Якщо ми запишемо наступним чином (с 9 десятковими цифрами, останню з яких розглядатимемо як запасну)
то
зможемо застосувати
ряд (31) для
.
Маємо (якщо працювати з
однією запасною
десятковою цифрою)
з абсолютной похибкою
,
що
не перевищує за
абсолютною величиною
числа
.
Отже, ми
можемо стверджувати, що
,
де всі
цифри точні.
Взявши часткову суму ряду з трьома
членами, отримали б більш точне значення
кореня
.
Приклад 29. Знайти
наближене значення
числа
.
Візьмемо до уваги, що
,
і
використаємо розвинення (22) для
,
де як наближене значення
кореня
візьмемо
(див. попередній
приклад).
.
Отже, можна
вважати, що
з абсолютной похибкою
.
Таким чином,
,
,
де всі
цифри точні.
Більш точне
значення числа
,
яке ми
використаємо в наступному
прикладі, є
Приклад 30. Знайти
наближене значення
.
Виражаючи кут в радіанах і застосовуючи формулу (17), матимемо
Отримуємо
з абсолютной похибкою
.
Отже,
і і точністю до 0.000001
Зауваження 5. В розглянутих прикладах ми мали справу з знакозмінними рядами, в яких дуже просто оцінювати похибки обчислень. В інших випадках для наближених обчислень зручнішою може виявитись формула Тейлора. Див. з цього приводу п. 2.3.4.
11. Ряди фур"є
11.1. Ряд фур"є1 за ортогональною системою функцій
Означення 1. Дві
ненульових функції
називаються
ортогональними
на деякому відрізку
,
якщо інтеґрал
по цьому відрізку
від їх
добутку дорівнює нулю,
.
( 1 )
Означення 2. Система ненульових функцій називається ортогональною на відрізку , якщо функції системи парами ортогональні на .
Нехай
( 2 )
- ортогональна система функцій на відрізку , тобто
для
і
для
,
( 3 )
а функцію
розвинено в ряд за
цією системою,
.
( 4 )
Треба
знайти коефіцієнти
розвинення.
Для знаходження
ми помножимо
обидві частини
рівності (4) на
і почленно проінтеґруємо
результат по
(в припущенні, що
це можливо),
.
Внаслідок ортогональності системи (2) всі інтеґрали праворуч дорівнюють нулю, за виключенням одного, і тому
,
.
( 5 )
Ряд (4) з коефіцієнтами (5) називається рядом Фур"є для функції за ортогональною системою функцій (3). Коефіцієнти (5) називаються коефіцієнтами Фур"є.
Ми можемо записати ряд (4) з коефіцієнтами (5) для доволі широкого класу функцій і ортогональних систем функцій, але ми не можемо, взагалі кажучи, гарантувати справедливість рівності (4).
З цієї причини звичайно пишуть
( 6 )
і кажуть, що ряд (6) відповідає функції .
Основна проблема теорії рядів Фур"є полягає у відшуканні умов, які дозволяють замінити відповідність (6) точною рівністю (4). Така проблема є роз-в"язаною, наприклад, для тригонометричної системи функцій, до розгляду якої ми зараз переходимо.