10.3. Деякі застосування степеневих рядів

Степеневі ряди успішно застосовуються для інтеґрування диференціальних рівнянь, обчислення інтеґралів, які не виражаються в елементарних функціях, і в наближених обчисленнях.

10.3.1. Наближене інтеґрування диференціальних рівнянь а) Метод ряду Тейлора (Маклорена)

Нехай треба розв"язати задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку

( 26 )

Шукатимемо розв"язок задачі у вигляді ряду Тейлора

, ( 27 )

в якому треба знайти шуканої функцаї та її похідних в точці . За допомоги початкової умови і диференціального рівняння ми зразу отримуємо

Для знаходження наступних значень похідних ми послідовно дифенціюємо дане рівняння та рівняння, отримані після диференціювання,

где

,

а потім покладаємо цих рівняннях ,

Діючи таким чином, ми можемо знайти довільну кількість членів шуканого ряду Тейлора.

Приклад 22. Розв"язати задачу Коші

Відповідний ряд Тейлора

.

Діючи відповідно викладеній теорії, отримуємо

,

,….

,

,

,

………………………………………………………………………………..

Таким чином, ми вже можемо записати п"ять перших членів ряду, який дає розв"язок задачі,

,

.

Приклад 23. Розв"язати задачу Коші для диференціального рівняння другого порядку

Тут , тому ми шукаємо розв"язок в вигляді ряду Маклорена

.

Початкові умови і диференціальне рівняння дають

.

Післе диференціювання даного рівняння та його наслідків

ми знаходимо значення похідних

і перші чотири ненульових члени ряду Маклорена для шуканої функції

Б) Метод невизначених коефіцієнтів для лінійних рівнянь

Проілюструємо цей метод на двох прикладах.

Приклад 24. Розв"язати ту ж задачу Коші, що й в Прикладі 23,

Шукатимемо розв"язок задачі у вигляді степеневого ряду з невизначеними коефіцієнтами .

Початкові умови дають

.

Тепер ми підставляємо ряд в ліву частну рівняння, а в його правій частині замінюємо рядом (16). Отримуємо рівність двох рядів

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x, дістаємо систему рівнянь відносно коефіцієнтів .

……………………………………………………………………..

Перші чотири ненульових члени ряду, який дає розв"язок задачі,

збігаються з отриманими в Прикладі 23.

Приклад 25. Знайти загальний розв"язок диференціального рівняння

.

За аналогією з Прикладом 24 шукаємо розв"язок в вигляді степеневого ряду з невизначеними коефіцієнтами та підставляємо цей ряд в рівняння.

.

Тепер ми прирівнюємо до нуля всі коефіцієнти ряду в лівій частині

і виражаємо через , а - через .

.

Відсутність початкових умов означає, що ми можемо вважати коефіцієнти , довільлними числами. Після декількох простих кроків з використанням рядів (16), (17) ми дістаємо остаточний результат,

.

10.3.2. Наближене обчислення інтеґралів

Обмежимось двома цікавими прикладами.

Приклад 26. В теорії ймовірностей розглядається так звана функція Лапласа

. ( 28 )

Відомо, що первісна підінтеґральнї функціх не виражається за допомоги елементарних функцій. Але ми можемо представити функцію Лапласа у вигляді ряду. Замінивши в розвиненні (15) змінну x на і почленно проінтеґрувавши, дістанемо

,

.(29)

Приклад 27. За допомоги розвинення (16) ми представляємо рядом так званий інтеґральний синус

,

. ( 30 )

Нагадаємо, що первісна підінтеґральної функції в інтеґральному синусі не виражається в елементарних функціях.