10.1.2. Властивості суми степеневого ряду

Означення 3. Нехай X – область збіжності степеневого ряду. Для довільного позначимо суму відповідного числового ряду. Функція з областю визначення називається сумою степеневого ряду.

Будемо для визначеності розглядати ряд (1), і тоді для довільного ми зможемо написати

. ( 4 )

Сума степеневого ряду має ряд важливих властивостей, які ми сформулюємо без доведення.

1. Сума степеневого ряду неперервна в його інтервалі збіжності.

Замечание 1. Якщо степеневий ряд збігається в одному з кінців інтервалу збіжності, його сума неперервна і в цьому кінці.

Нехай ряд (4) збігається на кінці . Зауваження означає, що

.

2. Сума степеневого ряду інтеґровна в інтервалі збіжності і може бути проінтеґрована почленним інтеґруванням ряду.

Для випадку ряду (1) інтеґрування по інтервалу дає

. ( 5 )

Ряд (5) також є степеневим, причому його радіус збіжності збігається з радіусом збіжності R ряду (4).

Останнє твердження легко довести за умови існування границі (3). Дійс-но, радіус збіжності ряду (5) на підставі формули (3) дорівнює

.

3. Сума степеневого ряду диференційовна на інтервалі збіжності і може бути продиференційована почленим диференціюванням ряду.

Для ряду (4) властавість означає

. ( 6.1 )

Ряд (6) є степеневим, а радіус його збіжності збігається з радіусом збіжності R ряду (4). Незмінність радіуса збіжності може бути доведена таким же чином (якщо існує границя (3)), як і для властивості 2. Зробіть це самостійно.

3. Застосовуючи властивість 3 нескінченну кількість разів, отримаємо

( 6.2 )

( 6.3 )

…….……………………………………………………………………

( 6.n )

….……………………………………………………………………..

Покладаючи тепер в формулах (4), (6.1), (6.2), (6.3), …, (6.n),…, ми зможемо знайти коефіцієнти ряду (4),

,

,….

В результаті ряд (4) може бути записаний наступним чином:

, ( 7 )

або в короткому запису

.

Ряд (7) називається рядом Маклорена¹ для функції .

Аналогічно, якщо функція є сумою ряду (2),

, ( 8 )

то

( 9 )

Ряд (9) називається рядом Тейлора² для функції .

Приклад 9. Знайти суму ряду

.

Почленно диференціюючи ряд, отримаємо геометрну проґресію з знамен-ником і радіусом збіжності ,

.

Сума проґресії на підставі відповідної формули (див. формулу (7) в розділі 9.1) дорівнює

.

Інтеґруючи, дістаємо

.

На підставі очевидної умови знаходимо і отримуємо шукану суму

.

Приклад 10. Знайдіть тим же методом суму ряду

.

Приклад 11. Знайти суму ряду

.

Задача розв"язується за допомоги почленного інтеґрування даного ряду. Дійсно,

причому результат є вірним за умови Тепер після диференціювання отримуємо (для )

Приклад 12. Знайти тим же методом суму ряду

.

10.2. Розвинення функцій в степеневі ряди

Ми будемо вивчати тут розвинення функцій в ряди Маклорена.

Нехай дано нескінченно диференційовну функцію . Їй може бути поставлений у відповідність її ряд Маклорена, а саме:

 . ( 10 )

Необхідно з"ясувати такі два питання: за якої умови а) ряд (10) збігається і б) має своєю сумою функцію . Інакше кажучи, ми шукаємо умови розвив-ності функції в ряд Маклорена.

Необхідну і достатню умову розвивності дає нам формула Маклорена для функції (див. п. 2.3.4 В, формули (23), (25))

.( 11 )

Многочлен формули Маклорена збігається з n-ою частковою сумою ряду Маклорена (10), а є залишковим членом формули. Наприклад, залишковий член в формі Лагранжа має вигляд

. ( 12 )

Порівняння формул (10) и (11) очевидним чином веде до наступної теореми.

Теорема 2. Нескінченно диференційовна функція розвивна в ряд Маклорена (10) на деякому інтервалі тоді і тільки тоді, якщо при залишковий член формули Маклорена (11) прямує до нуля на ,

для ¹. ( 13 )

У випадку виконання умови (13) ми можемо записати розвинення функції в ряд Маклорена, замінивши в формулі (10) знак відповідності  знаком рівності, а саме:

.( 14 )

Теорема 3. Якщо нескінченно диференційовна функція і всі її похідні обмежені одним і тим же числом на деякому інтервалі , то функція є позвивною в ряд Маклорена (10) на цьому інтервалі.

■Нехай існують інтервал і число C такі, що

для будь-якого n ( ) і довільного ( ). Записавши залишковий член формули Маклорена в формі Лагранжа (12) і використавши результат Прикладу 20 попереднього розділу, ми отримаємо

.

Залишається застосувати теорему 2.■

Приклад 13. Функції задовольняють умови теореми 3 на множині всіх дійсних чисел . Функція задавольняє умови на довільному скінченному інтервале ( ). Отже, ми зразу отримуємо розвинення цих функцій в ряди Маклорена на підставі результатів п. 2.3.4 В, а саме:

, ( 15 )

, ( 16 ) . ( 17 )

Всі три ряди абсолютно збігаються на (див. Примеры 4, 7, 8), так що формули (15), (16), (17) справедливі для будь-якого x.

Замечание 2. Мы можемо отримати розвинення (17) почленним диферен-ціюванням ряду (16).

Приклад 14 (біномний ряд). Розвитумо в ряд Маклорена таку функцію

, ( 18 )

де m – деяке дійсне (але не натуральне) число.

Спочатку знаходимо похідні функції (18),

.

Тепер знаходимо значення функції та її похідних в точці x = 0,

,

….

Нарешті за формулою (10) дістаємо

  .

Радіус збіжності останнього ряду дорівнює , оскільки на підставі формули (3)

.

Можна довести, що на інтервалі збіжності виконуються умови теоремы 2, і, отже, ми отримаємо на цьому інтервалі наступне розвинення (так званий біномний ряд)

. ( 19 )

Біномний ряд (19) є джерелом багатьох інших розвинень.

Приклад 15. Поклавши в біномному ряді , дістанемо

,

,

. ( 20 )

Зауваження 3. Розвинення (20) можна було б отримати зразу як суму збіжної геометричної проґресії (з знаменником ), якщо виконується умова . Ряд в формулі (20) розбігається на обох кінцях інтервалу збіжності .

Приклад 16. Почленно інтеґруючи ряд (20) по відрізку ми знаходимо розвинення натурального логарифма

. ( 21 )

Ряд (21) збігається на кінці (за ознакою Лейбніца для знакозмінного ряду) і розбігається на конці (чому?).

Приклад 17. Замінимо в розвиненні (20) змінну на ,

.

Післе почленного інтеґрування останнього ряду отримуємо розвинення арктангенса з інтервалом збіжності ,

. ( 22 )

Областю збіжності цього ряду є відрізок , бо він збігається на кінцях інтервалу збіжності (впевніться в цьому за допомоги ознаки Лейбница!).

Приклад 18. Покладімо спочатку в біномному ряді (19) ,

,

, ( 23 )

а потім замінимо x на ( , звідки ),

.

Наступне почленне інтеґрування дає розвинення арксинуса з інтервалом збіжності

. ( 24 )

Зауваження 4. Мт часто маємо справу з розвиненнями функцій в ряд Тейлора

, ( 25 )

.

Відповідна теорія аналогічна викладеній стосовно ряду Маклорена.

В Прикладах 16 – 18 ми дістали розвинення декількох функцій, знаючи розвинення інших. Розглянемо кілька додаткових прикладів.

Приклад 19. Розвинути в ряд Маклорена функцію

.

Використовуючи стандартне розвинення (21), ми вчиняємо наступним чином:

.

Інтервал збіжності ряду визначається з нерівностей

.

Областю збіжності ряду є відрізок (чому?).

Приклад 20. Беручи до уваги, що

,

розвинути в ряд Маклорена функцію і знайти область збіжності отриманого ряду.

Приклад 21. Розвинети в ряд Маклорена функцію

.

Ми знайдемо шукане розвинення, беручи до уваги стандартні розвинення (16), (17) синуса і косинуса і абсолютну збіжність обох рядів на множині всіх дійсних чисел.

.