9.3. Числові ряди з довільними дійсними членами абсолютна і умовна збіжності

В п. 9.2 ми розглядали числові ряди з додатними членами. Перейдемо тепер до рядів, члени яких – довільні дісні числа, як додатні, так і від"ємні. На підставі теореми 2 ми можемо вважати, що множини і тих, і інших нескінченні. Дійсно, якби ряд містив, наприклад, скінченну кількість від"ємних членів, ми могли б просто викинути їх, оскільки цу не змінило б факту збіжності або розбіжності ряду.

Як перший приклад рядів з довільними дійсними членами ми розглянемо так звані знакозмінні (інші назви - альтернуючі, знакопереміжні, знакопочережні) ряди.

9.3.1. Знакозмінний ряд

Означення 7. Знакозмінним рядом називається ряд такої форми:

, ( 30 )

де всі числа один і той же знак . Іншими словами, знакозмінний ряд – це ряд, знаки членів якого по черзі змінюються.

Теорема 11 (ознака Лейбніца¹). Нехай в знакозмінному ряді (30):

a) виконується необхідна умова збіжності, яка тут має форму

; ( 31 )

b) члени ряду не зростають за абсолютною величиною;

в такому випадку ряд збігається, а для його суми S виконується нерівність

. ( 32 )

■Нехай, для визначеності, всі числа додатні.

1. Спочатку ми розглянемо часткові суми ряду (30) з парною кількістю членів. Запишемо 2m-у часткову суму в двох формах, а саме:

a)

б) .

Перша форма свідчить, що часткова сума невід"ємна і зростає з зростанням m, а друга форма – що вона обмежена зверху числом ( ) . Отже, існує скінченна границя S суми при ,

.

2. Для завершення доведення ми повинні показати, що часткові суми ряду (30) з непарною кількістю членів прямують до тієї ж самої границі S. Але на підставі умови (31)

.

Таким чином, ми довели, що

для будь-якого n, як парного, так і непарного, а тому ряд (30) збігається.

У випадку додатності всіх ми отримуємо нерівність . В загальному випадку ми дістаємо потрібну нерівність (32).■

Приклад 26. Знакозмінний ряд

задовольняє обидві умови ознаки Лейбница:

a) ; b) .

Отже, ряд збігається, і для його суми S виконується нерівність

.

Зауважимо, що в нашому прикладі для всіх , а тому останню нерівність можна замінити простішою, саме .

Приклад 27. Знайти наближене значення суми S ряду

.

Ряд є знакозмінним, він задовольняє обидва умови ознаки Лейбніца і тому збігається. На підставі формул (12), (13) ми маємо

з абсолютной похибкою

.

1. Нехай спочатку . Тоді

є сумою знакозмінного ряду, і за нерівністю (32)

.

Далі

;

,

і

,

де всі цифри точні, або

з точністю до 0.01.

2. Нехай тепер . В цьому випадку

,

,

,

,

зо всіма точними цифрами або ж

с точністю до 0.001.

3. Нехай, нарешті, . Таким же чином ми знаходимо

;

,

,

,

,

і всі цифри точні.

Приклад 28. Знакозмінний ряд

сводиться до гармонічного з і тому розбігається. Дійсно,

,

і

.

Для даного ряду необхідна умова збіжності (32) виконується, але друга умова ознаки Лейбніца порушується. Дійсно, для будь-якого n

(перевірте!).