РЯДИ
9. Числові ряди
9.1. Збіжність і розбіжність числових рядів
Означення 1.
Числовим рядом
зсначення
називається вираз
(символ)
( 1 )
Означення 2.
Вираз
називається загальним
членом ряду (1).
Приклад 1. Знайти загальний член ряду
.
Перші і
другі співмножники
в знаменниках утворюють
арифметичні проґ-
ресії з
першими членами
,
різницями
та
n-ми членами
.
Отже, шуканий загальний член дорівнює
.
Означення 3. Сума перших n членів ряду (1), а саме
,
( 2 )
називається його n-ою частковою сумою
Наприклад, перша, друга і третя частинні суми дорівнюють
Означення 4. Ряд
( 3 )
називається залишком ряду (1) після n-го члена (або n-им залишком ряду).
Означення 5. Якщо
існує скінченна границя n-ої
часткової суми ряду (1)
при
,
,
( 4 )
то ряд називається збіжним. Число S називається в такому разі сумою ряду, і можна написати рівність
( 5 )
кажучи, що ряд збігається до (своєї суми) S.
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд
.
Спочатку зауважимо, що
,
оскільки
Даючи послідовно значення 1, 2, 3,… змінній n, ми подамо n-у часткову суму ряду наступним чином:
.
Отже,
За
означенням збіжності даний
ряд збігається до суми
(має суму) S
= 1/6.
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд
.
По аналогії з попереднім прикладом ми подамо загальний член ряду як різницю двох дробів,
,
а потім (послідовно покладаючи n = 1, 2, 3,…) дістаємо n-у часткову суму і суму ряду
;
.
Даний ряд
збігається і має
суму
(збігається до
).
Приклад 4. Доведіть самостійно, що ряд
збігається
і має суму
.
Приклад 5. Знайти суму ряду
.
Відповідь.
.
Приклад 6. Геометрична проґресія
( 6 )
з
знаменником q
збігається у
випадку
і має суму
,
тобто
,
.
( 7 )
Дійсно, n-а часткова сума проґресії дорівнює
і має при границю
,
бо при
.
Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд
,
користуючись означенням збіжності ряду.
Поділивши почленно, ми запишемо n-у часткову суму ряду у вигляді
.
Ми отримали три геометричні проґресії з першими членами
і знаменниками
.
Отже, n-а часткова сума ряду дорівнює
,
а сума ряду
.
Означення 6. Якщо
або ж границя
взагалі не існує, ряд (1) називається розбіжним. Можна також сказати, що ряд розбігається.
Приклад 8. Арифметична проґресія
розбігається, бо її n-а часткова сума дорівнює
і має нескінченну границю при .
Приклад 9. Геометрична
проґресія
(6) розбігається при
і
.
■ a) Якщо
,
то
при
,
і границя
n-ої
часткової суми при
є нескінченною, а при
не існує.
б) Якщо
,
проґресія набуває вигляду
,
має n-у часткову суму
з границею, рівною
при
і
при
.
в) Якщо, нарешті,
,
проґресія має вигляд
,
її n-а часткова сума дорівнює 0 для n парних і a для n непарних. Тому границя
не існує.
Таким чином, у всіх трьох випадках a), б), в) проґресія розбігається.■
Приклад 10. Гармонічний ряд
( 8 )
збігається при
і розбігається при
.
Ми доведемо цей факт пізніше.
Наприклад, гармонічні ряди
збігаються
(
відповідно), а ряди
(також гармонічні)
розбігаються
(відповідно
).
Теорема 1. Необхідна (але не достатня!) умова збіжності ряду (1) така:
.
( 9 )
Теорема 1 означає, що
якщо ряд (1) збігається,
то границя його
загального члена
при
повинна бути рівною нулю.
■Нехай ряд (1) збігається
до
.
Це означає,
що
.
Але
,
і тому
.■
Приклад 8. Ряди
a)
b)
розбігаються, оскільки для першого з них
,
а для другого
,
і необхідна умова збіжності для обох рядів не виконується.
Приклад 11. Необхідна умова збіжності виконується для двох наступних рядів
,
але тільки на підставі цього ми не можемо нічого сказати про їх збіжність чи розбіжність. Нижче ми доведемо, що перший ряд збігається, а другий - розбігається.
Теорема 2. Якщо ряд (1) збігається, то для будь-якого n збігається його залишок після n-го члена (n-й залишок) (3). Якщо, далі, залишок (3) ряду (1) збігається при деякому n, то збігається і сам ряд (1).
■Доведімо першу
частину теореми.
Нехай ряд (1) збігається
до S, і
позначмо
k-у
частинну суму
залишку (3),
.
Очевидно, що
,
а отже існує границя
.
Це значить, що залишок (3) збіжного ряду (1) збігається для будь-якого n.■
Сенс теореми 2 полягає в наступному: факт збіжності чи розбіжності ряду не змінюється, якщо додати до нього чи відкинути в ньому скінченну кількість членів.
Наслідок 1. Позначмо
суму n-го залишку
збіжного ряду. На підставі
доведення теореми 2
отримуємо
,
і тому
.
( 10 )
Формула (10) подає суму S
збіжного ряду сумою
його n-ої
часткової суми
і суми
відповідного n-го
залишку.
Наслідок 2. Сума n-го залишку збіжного ряду прямує до нуля при ,
( 11 )
■З формули (10) випливає, що
.■
Наслідок 3. Для великих n сума S збіжного ряду наближено дорівнює
( 12 )
з абсолютной похибкою
.
( 13 )
Останню можна зробити як завгодно малою для достатньо великих значень n.
На практиці часто-густо нема необхідності досліджувати ряди на збіж-ність тільки за допомоги означень 5, 6, тобто відшуканням границі n-ої часткової суми . Достатньо встановити факт його збіжності чи розбіжності з інших міркувань і в разі збіжності знайти наближене значення його суми.
Існує багато ознак збіжності або розбіжності рядів. Розпочнімо з формулювання наступної теореми.
Теорема 3 (необхідна і
достатня ознака
Коші1
збіжності числового
ряду). Числовий ряд
(1) збігається тоді і тільки
тоді, якщо для довільного
додатного як завгодно
малого числа
існує (натуральне) число
N таке,
що для будь-якого
більшого
натурального числа n
и для довільного
натурального m
виконується нерівність
.
Символічно
.
( 14 )
Буквою
позначена множина всіх натуральних
чисел.
Теорема 4 (почленні лінійні операції над числовими рядами). Нехай дано два числових ряди з сумами S і T відповідно,
.
В такому випадку для будь-якого числа k
(15)
(винесення сталого множника k з збіжного ряду),
( 16 )
(почленне додавання чи віднімання двох збіжних рядів), і для будь-яких чисел k і l
( 17 )
(почленна лінійна комбінація двох збіжних рядів, наслідок формул (15), (16)).
■Справедливість формули
(15) випливає з рівності,
що пов"язує n-і
часкові суми
рядів
,
а саме,
.
Отже,
для сум
рядів дістаємо
.■
Формули (16), (17) доведіть самостійно.
Приклад 12. Суму ряду
(див. Приклад 7) можна дуже просто обчислити за теоремою 4 і формулою (7). Дійсно,
.