Случайные величины

Задание 6. Производится 3 независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х – числа непоявлений события А. Найти М(Х), D(Х).

Решение.

Имеем схему повторных независимых испытаний, где

п = 3,

р = 0,6 (непоявление события А),

q = 0,4 (появление события А).

Х – число непоявлений события А в трех испытаниях. Возможные значения Х – 0, 1, 2, 3. Рассчитаем соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

Х	0	1	2	3
р	0,064	0,288	0,432	0,216

Проверка: 0,064+0,288+0,432+0,216=1.

Найдем М(Х), D(Х).

1 способ. Математическое ожидание

;

.

Дисперсию вычислим по формуле

.

Напишем закон распределения :

Х 2	0	1	4	9
р	0,064	0,288	0,432	0,216

Найдем :

.

Найдем дисперсию:

.

2 способ. Заметим, что в данном случае Х имеет биномиальное распределение, тогда

Ответ: Искомый закон распределения имеет вид

Х	0	1	2	3
р	0,064	0,288	0,432	0,216

Задание 7. Дана функция распределения вероятностей

Найти:

1. Функцию плотности вероятностей f(x);

2. Построить графики и f(x);

3. Найти и ;

4. Найти вероятность попадания величины Х в интервал (–2,5; 7).

Решение.

1. По определению функции плотности распределения вероятностей имеем:

2. График функции распределения (рис. 9):

F(x)

1

–3 –2 0 х

Рис. 9

График функции плотности распределения вероятностей (рис. 10):

f(x)

2

–3 –2 0 х Рис.10

3. Так как .

.

4. 

Ответ: 1.

2. ; 3. ; 4.

Задание 8. Задана плотность вероятности случайной величины Х:

Определить:

1. коэффициент С;

2. функцию распределения ;

3. математическое ожидание ;

4. дисперсию ;

5. среднее квадратическое отклонение ;

6. вероятность попадания значений случайной величины в интервал .

Решение.

1. По свойству

Тогда имеет вид

2. Для вычисления воспользуемся формулой нахождения функции распределения по известной функции плотности:

.

Если .

Если .

Если .

Получим выражение для функции распределения:

3. 

4. 

5. .

6. .

Ответ: 1. С = 0; 2. 3. ; 4. ; 5. ; 6. .

Задание 9. График нормального распределения случайной величины имеет вид (см. рис. 11). Вероятность . Найти .

у у=f(x)

S = 0,8

0 2 4 х

Рис. 11

Решение.

Используем формулу

Тогда

Ответ: