Контроль вычислений

Он необходим для устранения случайных ошибок.

(СЛУ в матричной форме),

где А - матрица коэффициентов,

b - вектор-столбец свободных членов,

x - вектор-столбец неизвестных .

Если b_i заменить на s_i , где , то получим преобразованную СЛУ :

, где (i = 1, 2, …, n).

Доказательство: Выполним проверку 1^го уравнения СЛУ

a_{11 } + a_{12 } + a_{13 } + a_{14 } = s₁ .

Подставим = x_i + 1

a₁₁(x₁+1) + a₁₂ (x₂+1) + a₁₃  (x₃+1) + a₁₄ (x₄+1) =

= (a₁₁  x₁+ a₁₂  x₂ + a₁₃  x₃ + a₁₄  x₄ - b₁) + (a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ +b₁)= = s_1.

Если x₁, x₂, x₃, x₄ образуют решение СЛУ, то имеем

s₁ = a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + b_1.

После проведения аналогичной проверки для каждого уравнения СЛУ становится очевидным высказанное утверждение.

1. Текущий контроль (контроль прямого хода).

Дополнительно в таблице используются столбцы значений s_i и _i ,

где s_i - контрольные элементы ,

_i - сумма коэффициентов i-го уравнения (табл. 2.2 ).

Таблица 2.2

аij	bi	si	 i
a11 a12 ... a1n	b1
a21 a22 ... a2n	b2
.	.
.	.
.	.

Для исходной СЛУ s_i  _i (в разделе а⁽⁰⁾).

В процессе вычислений над s_i производятся те же операции, что и над a_ij, b_i .

Если вычисления ведутся с округлениями, то s_i  _i.

Расхождение между s_i и _i, существенно превышающее погрешности округлений,

является признаком ошибки.

2. Заключительный контроль (контроль обратного хода).

Дополнительно в таблице используется строка значений (табл. 2.3)

Таблица 2.3

		.				.
		.				.
		.				.
x1	x2		x3		х4

Результатами параллельного решения двух систем Ax = b и являются значения и , которые связаны равенством: (критерий контроля).

Пример. Решить СЛУ методом Гаусса с контролем вычислений (табл. 2.4).

Таблица 2.4

			аij		bi	si	 i
	2 1 2 1 -1	3 1 1 1 -3/2	11 5 3 3 -11/2	5 2 2 4 -5/2	2 1 -3 -3 -1	23 10 5 6 -23/2	23 10 5 6
		-1/2 -2 -1/2 -1	-1/2 -8 -5/2 -1	-1/2 -3 3/2 -1	0 -5 -4 0	-3/2 -18 -11/2 -3	-3 -18 -11/2
			-6 -2 -1	-1 2 -1/6	-5 -4 -5/6	-12 -4 -2	-12 -4
				7/3 -1	-7/3 1	0 0	0
xi	-2	0	1	-1
	-1	1	2	0