Разделенные разности:

•

1-го порядка ,

2-го порядка ,

•

•

•

•

•

•

•

• и т.д.

Выразим через .

•

•

•

2-я интерполяционная формула Ньютона (для интерполяции назад)

(3.3)

Частный случай: .

Связь разделенных разностей с конечными:

,

,

•

•

•

Вид полинома после замены разностей:

Т.к. ,

,

•

•

•

, то

(3.4)

Достоинство интерполяционного полинома Ньютона: при изменении количества узлов n необходимо осуществить незначительную коррекцию полинома - добавить (или исключить) стандартные слагаемые.

И ; . Нтерполяционный полином Лагранжа

Частная задача. Построить полином, удовлетворяющий условиям:

Разложение полинома на множители:

,

где - постоянный коэффициент.

Полагая и учитывая

.

. (3.5)

Общая задача. Построить полином, удовлетворяющий условиям:

P_n ( x_i )=y_i (i=0,1,…,n).

Искомый полином:

,

где - множители Лагранжа (см. (3.5)).

В развернутом виде:

•

•

•

.

Компактная запись полинома

, (3.6)

где ;

т.к.

•

•

•

, то

при

.

Частный случай: (равноотстоящие узлы).

Т.к. ,

,

•

•

•

то ;

т.к. ,

,

•

•

•

то

.

Следовательно

. (3.7)

Достоинство интерполяционного полинома Лагранжа: явное присутствие y_i, что удобно в случае интерполяции нескольких функций по одной системе узлов.

Недостаток: изменение количества узлов n требует полной перестройки полинома.

Пример. Дана таблица функции(табл. 3.4). Необходимо построить интерполяционный полином в форме Лагранжа.

Таблица 3.4

i	xi	yi
0	2	10,4
1	3	12,4
2	4	14,0

П

ри n = 1

При n = 2

.

Экстраполяция

Экстраполяция – это приближенное вычисление .

Если - экстраполяция назад

(Используется 1-я интерполяционная формула Ньютона) .

Если - экстраполяция вперед

(Используется 2-я интерполяционная формула Ньютона)

Интерполяционный полином в форме Лагранжа используется как для интерполяции, так и для экстраполяции. Необходимо только в формулу подставить соответствующее значение аргумента.