Интерполяционные полиномы Ньютона

Предварительная информация

Конечные разности

- заданная функция ;

, где - шаг интерполяции ;

, где - конечная разность функции .

- 1-го порядка ,

•

•

•

- 2-го порядка ,

•

•

•

•

•

• и т.д.

Пример. Построить конечные разности для функции при шаге .

•

•

•

.

Диагональная таблица разностей (табл. 3.1) :

Таблица 3.1

При работе с переменным шагом используются

Разделенные разности

1-го порядка ,

•

•

•

2-го порядка ,

•

•

•

•

•

• и т. д.

Построение полинома

Выразим через .

•

•

•

Т.к. , то справедлива следующая запись:

1-я интерполяционная формула Ньютона ( для интерполяции вперед )

(3.1)

Рассмотрим частный случай.

Постоянный шаг интерполяции (равноотстоящие узлы)

,

где q – число шагов .

Связь разделенных разностей с конечными:

,

,

•

•

•

Вид полинома после замены разностей:

.

Т.к. ,

1 ,

•

•

•

, то окончательно :

. (3.2)

Замечания. 1. Количество узлов (i = 0,1,…,n) определяет вид интерполяции .

(Если n = 1 – линейная; n = 2,3,… - параболическая).

2. Т.К. В формуле присутствуют , , , ••• , то она удобна для интерполяции в начале таблицы и не используется в конце.

Пример 1. Функция заданна таблично(табл. 3.2). Необходимо найти f (2,1).

Таблица 3.2

Т. к. x = 2,1 ; 2 ; h = 1 , то . y = y0 + qy0 .
0	5,2
		2,8
1	8,0		-0,4
		2,4
2	10,4		-0,4
		2
3	12,4		-0,4
		1,6
4	14,0

Пример 2. Построить аналитическое выражение по эмпирическим данным (табл. 3.2).

Если , , то ;

;

y = 5,2 + x2,8+ x( x-1) ;

.

При интерполяции в конце таблицы используется другая формула .

Для ее построения необходимо:

1. началом отсчета q выбрать ,

2) использовать разности , , , …. (см. табл.3.3).

Таблица 3.3

	y
• • •	• • •	• • •	• • •	• • •