Контрольні запитання

1. Який рух твердого тіла називається плоским (плоскопаралельним)?

2. Скільки ступенів свободи має тверде тіло при плоскому русі?

3. Якими рівняннями задається плоский рух?

3. Чи залежить від вибору полюса:

а) швидкість поступального руху полюса?

б) кутова швидкість обертання твердого тіла?

5. Запишіть формулу для швидкості довільної точки плоскої фігури.

6. Вектори швидкості точок та твердого тіла складають з відрізком кути 30° та 60° відповідно. Модуль якої швидкості більше? У скільки разів?

7. Як спрямована швидкість точки плоскої фігури відносно відрізку , якщо швидкість точки перпендикулярна до цього відрізку?

8. Що таке миттєвий центр швидкостей (МЦШ)?

9. Вкажіть методи знаходження МЦШ якщо:

а) швидкості точок та твердого тіла непаралельні;

б) швидкості точок та твердого тіла паралельні.

10. Якому закону задовольняють швидкості точок плоскої фігури, якщо відоме положення МЦШ?

11. Знайдіть швидкість точки плоскої фігури, якщо швидкість обертального руху цієї точки навколо полюса дорівнює вектору швидкості точки ?

12. Де знаходиться МЦШ плоскої фігури в той момент, коли вона здійснює поступальний рух?

13. Як знайти МЦШ колеса, яке котиться без ковзання:

а) по нерухомій поверхні?

б) по рухомій поверхні?

Методика розв’язання задач

1. Проводимо аналіз механізму та визначаємо характер руху кожної ланки.

2. На ланці, яка здійснює плоский рух, знаходимо точки, швидкості яких визначаються однозначно з умов задачі та схеми механізму.

3. Визначаємо положення МЦШ ланки, що здійснює плоский рух.

4. Знаючи швидкість певної точки і положення МЦШ визначаємо кутову швидкість ланки .

5. Для -тих точок ланки, які нас цікавлять, знаходимо їхні відстані від МЦШ – .

6. Визначаємо швидкості цих точок ланки як

.

Приклад 1. Визначення швидкостей точок колеса,

яке котиться по нерухомій поверхні

Колесо, яке складається з двох жорстко скріплених циліндрів, що мають спільну вісь, котиться без ковзання малим циліндром по прямій горизонтальній нерухомій рейці (рис. 3.6). Знайти лінійні швидкості точок , , та кутову швидкість колеса, якщо швидкість осі колеса = 1 м/с, зовнішній радіус колеса = 30 см, а внутрішній = 20 см. Які точки колеса мають екстремальні значення швидкості?

Всі вектори вказати на схемі.

Розв’язання. Згідно з умовою задачі всі точки колеса рухаються в незмінних площинах – отже, колесо здійснює плоский рух. Оскільки воно не ковзає відносно нерухомої рейки, то точка дотику колеса до рейки має нульову швидкість і є миттєвим центром швидкості колеса – позначимо цю точку літерою (дивись рис. 3.7).

Для знаходження кутової швидкості колеса розглянемо точку , лінійна швидкість якої відома. Оскільки точка належіть колесу, то

.

Звідси отримаємо кутову швидкість колеса

= 1/0,2 = 5,0 рад/с.

Тоді лінійні швидкості точок , , можна визначити з формул:

, ( ),

, ( ),

, ( ).

Відстані , та знайдемо з геометричних міркувань (дивись рис. 3.7):

= 0,1 0м,

= = 0,36 м,

= = = 0,153 м.

Підставляючи ці результати у відповідні рівняння, отримаємо:

= 5,0 ·0,1 = 0,50 м/с,

= 5,0 0,36 = 1,8 м/с,

= 5,0 ·0,153 = 0,77 м/с.

Звернемо увагу на те, що вектори лінійних швидкостей завжди перпендикулярні до прямої, яка проведена з МЦШ (точки ) до даної точки, а лінійна швидкість точки напрямлена проти швидкості руху центра колеса .

Якщо нас цікавлять точки тіла, величина швидкості яких мають екстремальні значення = 0 та , то це точка , яка має найменшу швидкість, бо = 0, та точка, яка максимально віддалена від МЦШ. В нашому прикладі, така точка розташована симетрично до точки , вектор її швидкості паралельний , а модуль дорівнює

= 2,5 м/с.

Знайдіть цю точку самостійно.

Відповідь: = 1,8 м/с, = 0,5 м/с, = 0,77 м/с, = 5,0 рад/с, = 0, = 2,5 м/с.

Приклад 2. Визначення швидкостей точок

кривошипно-шатунного механізму

Розглянемо механізм, який складається з кривошипа , що обертається навколо осі , шатуна та поршня , який рухається в циліндрі (рис. 3.8). Знайти швидкості точок , і , а також кутову швидкість шатуна для заданого положення механізму, якщо: = 30 см, = 75 см, = 45 см, = 4 рад/с.

Розв’язання. Згідно з умовою задачі всі ланки механізму рухаються в незмінних площинах. При цьому кривошип здійснює обертальний рух навколо точки , поршень – поступальний рух вздовж направляючих (стінок циліндру), а шатун – плоский рух.

Оскільки нас цікавлять кінематичні характеристики точок, які знаходяться на шатуні , визначимо модуль та напрям лінійної швидкості точки . Ця точка одночасно належить до кривошипа , що обертається навколо нерухомої осі , з відомою кутовою швидкістю , тому лінійну швидкість точки знаходимо за законом обертального руху

.

Її модуль = 4·0,3 = 1,2 (м/с), а вектор швидкості спрямований в бік обертання ланки (проти руху стрілки годинника) перпендикулярно до (рис. 3.9) .

Напрям руху точки визначають направляючі поршня (циліндр). Таким чином, швидкість точки спрямована під кутом 45° до горизонту. Щоб знайти модуль швидкості точки можна скористатися теоремою про проекції, оскільки точки і належать до одного твердого тіла (шатуна ). який здійснює плоский рух

,

звідки отримуємо

,

тобто

= 1,2 (м/с).

Для визначення швидкості довільної точки ланки потрібно знайти МЦШ ланки та її кутову швидкість. Для визначення МЦШ встановимо перпендикуляри до швидкостей та в точках і (лінії та ). Точка перетину цих ліній ( ) є МЦШ ланки на даний момент часу.

Отже, шатун в даний момент часу здійснює обертальний рух навколо МЦШ (точки ) з кутовою швидкістю , яку будемо шукати з рівняння

,

в якому нам відома лінійна швидкість точки .

Для цього визначимо із трикутника (дивись рис. 3.9). Оскільки = = 45°, а = 90°, то = = 0,75·0,707 = 0,53 (м). Отже, підставляючи лінійну швидкість точки та відстань від неї до МЦШ в попередню формулу, отримуємо кутову швидкість шатуна

= = 1,2/0,53 = 2,3 рад/с.

Знаючи миттєве значення кутової швидкості ланки і положення МЦШ, можемо знайти швидкість довільної точки цієї ланки в даний момент часу (для даного положення механізму). Так, для швидкості точки маємо

= 1,2 м/с.

Звернемо увагу на те, що різні методи знаходження швидкості точки – теорема про проекції та використання властивостей МЦШ – дають однакові результати.

Знаючи положення МЦШ можемо визначити швидкість довільної точки ланки . Так, швидкість точки можна знайти за формулою

.

Відстань між точкою і МЦШ знайдемо з трикутника (дивись рис. 3.9), скориставшись теоремою косинусів

=

= = 0,38 м.

Тоді для швидкості точки отримаємо

= 2,3·0,38 = 0,86 м/с.

Вектори лінійних швидкостей завжди перпендикулярні до прямої, яка проведена з МЦШ (точки ) до даної точки, отже лінійна швидкість точки напрямлена по перпендикуляру до в сторону обертання ланки .

Відповідь: = 1,2 м/с, = 1,2 м/с, = 0,86 м/с, = 2,3 рад/с.

Приклад 3. Визначення швидкостей точок зчеплених дисків,

один з яких нерухомий

Розглянемо механізм, який складається з двох дисків, один з яких нерухомий, а другий приводиться в рух обертанням кривошипа , що з’єднує вісі дисків (рис. 3.10). Малий диск котиться по великому без ковзання. Знайдемо лінійні швидкості точок та та кутову швидкість малого диску для наступних умов: = 50 см, = 20 см, = 10 см, = 4 рад/с, = 30º.

Розв’язання. Визначимо характер руху окремих ланок механізму. Так, кривошип здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі, яка проходить через точку , з кутовою швидкістю . Відповідно, вісь малого диску теж здійснює обертальний рух навколо точки . Інші точки малого диска рухаються в незмінній площині, отже малий диск здійснює плоский рух.

Завдяки тому, що точка належить кривошипу, її лінійну швидкість знаходимо з формули

.

Отже, модуль швидкості точки

= 4·0,5 = 2 м/с,

а вектор швидкості спрямований в бік обертання ланки (за рухом стрілки годинника) перпендикулярно до (рис. 3.11).

Визначимо МЦШ малого диску. Оскільки диски не ковзають один відносно одного, а великий диск (1) знаходиться у стані спокою, то точка дотику дисків і є МЦШ. Позначимо цю точку літерою (дивись рис. 3.11), тобто на даний момент часу малий диск (2) здійснює обертальний рух навколо точки .

Виходячи з того, що лінійну швидкість точки ми визначили, а ця точка належить малому диску, запишемо вираз для її лінійної швидкості, користуючись властивостями МЦШ

,

де – кутова швидкість малого диска.

Відстань – не що інше як радіус малого диску, отже його кутову швидкість знайдемо як

= 2/0,2 = 10 рад/с.

Це дозволяє визначити лінійні швидкості точок та з формул:

, ( ),

, ( ).

Необхідні для розрахунків відстані та знайдемо з трикутників та (дивись рис. 3.11):

= = 0,2· = 0,346 м,

= = 0,224 м.

Підставляючи ці результати в відповідні рівняння, отримаємо:

= 10 · 0,346 = 3,46 (м/с),

= 10 · 0,224 = 2,24 (м/с).

Якщо нас цікавлять точки, швидкість яких має екстремальне значення, то це можна знайти аналогічно тому, як в прикладі 1.

Відповідь: = 3,46 м/с, = 2,24 м/с, = 10 рад/с.