§ 3. Плоский рух твердого тіла: а) визначення швидкостей точок
Плоским (чи плоскопаралельним) рухом
називається такий рух твердого тіла,
при якому всі точки тіла рухаються в
незмінних площинах, паралельних до
деякої нерухомої площини
,
яка носить назву основної. Отже,
плоский р
ух
твердого тіла можна звести до вивчення
руху плоскої фігури
,
утвореної перетином тіла площиною
(рис. 3.1). Тіло при плоскопаралельному
русі має три степені свободи. Цими трьома
параметрами, як правило, є дві декартові
координати (
,
)
довільної точки
плоскої фігури (цю точку називають
полюсом) і кут
,
який утворює відрізок
,
що лежить в площині фігури та з’єднує
полюс і довільну точку
,
з віссю
(рис. 3.1). При русі плоскої фігури
в своїй площині величини
,
і
змінюються з часом:
,
,
. (3.1)
Перші два рівняння визначають поступальний рух полюса, а третє – рівняння обертання плоскої фігури навколо полюса.
Швидкість довільної точки фігури визначається з формули
+
=
+
, (3.2)
де
- поступальна швидкість полюса (точки
А),
- швидкість точки
в її обертальному русі разом з плоскою
фігурою навколо цього полюса. Отже,
швидкість довільної точки
зображається діагоналлю паралелограма,
побудованого в точці
на векторах
і
(рис. 3.2).
Дуже
корисною для визначення швидкостей
точок твердого тіла буває теорема
про проекції, яка формулюється
наступним чином – геометричні проекції
векторів ш
видкостей
двох точок твердого тіла на лінію, яка
їх з’єднує, однакові
.
(3.3)
Таким чином, однакові їхні алгебраїчні проекції (дивись рис. 3.3)
.
(3.4)
Зауважимо, що формули (3.3) та (3.4) справедливі при будь-якому русі твердого тіла.
При
плоскому русі фігури, якщо її кутова
швидкість не дорівнює нулю (
≠ 0), в кожний момент часу існує єдина
точка в цій площині, навколо якої фігура
здійснює чисто обертальний рух. Ця точка
називається миттєвим центром
швидкостей (МЦШ) і, як правило,
позначається буквою
.
Якщо ця точка належіть твердому
тілу, то абсолютна швидкість цієї точки
тіла в даний момент часу дорівнює нулю.
Якщо вибирати полюс у миттєвому центрі швидкостей , то модуль швидкості довільної точки плоскої фігури визначається формулою
, (3.5)
і
лінійна швидкість точки
направлена перпендикулярно до прямої
(
)
за напрямом обертання фігури (рис. 3.4,
3.5).
Отже, плоскопаралельний рух твердого тіла в кожний момент часу можна розглядати як безперервну послідовність нескінченно малих поворотів навколо миттєвого центру обертання. Зауважимо, що положення миттєвого центру швидкостей може змінюватись з плином часу.
Основні методи знаходження мцш
1. Якщо відомі напрями швидкостей двох точок твердого тіла, що здійснює плоский рух, то МЦШ знаходимо шляхом встановлення перпендикулярів до векторів швидкостей у точці перетину цих перпендикулярів (рис. 3.4).
2. Якщо вектори швидкостей паралельні (рис. 3.5), то МЦШ (точка Р) лежить на спільному перпендикулярі до швидкостей, у місті перетину його з лінією, яка з’єднує кінці векторів. З подібності трикутників (дивись рис. 3.5 а і 3.5 б) отримаємо
. (3.6)