8. Применение теории вероятности к статистике.

   Математическая статистика - это раздел математики, в котором изучаются методы обработки и анализа экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над массовыми случайными явлениями. Таким образом, обработка результатов измерения (cм. § 7) является одной из задач математической статистики. В этом параграфе мы рассмотрим еще две задачи математической статистики.

1. Определение неизвестной функции распределения.

   Пусть мы имеем дело с непрерывной случайной величиной , значения которой получены из наблюдений. Разобьем диапазон наблюдаемых значений на интервалы ] X₀, X₁ [, ] X₁, X₂ [, ..., ] X_k-1, X_k [ одинаковой длины . Пусть m_i - число наблюдаемых значений , попавших в i-й интервал. Разделив m_i на общее число наблюдений n, получим частоту , соответствующую i-му интервалу: , причем . Составим следующую таблицу:

Номер интервала	Интервал	mi
1	] X0, X1 [	m1
2	] X1, X2 [	m2
...	...	...	...
k	] Xk-1, Xk [	mk

которая называется статистическим рядом. Эмпирической (или статистической) функцией распределения случайной величины называется частота события, заключающегося в том, что величина в результате опыта примет значение, меньшее x:

   На практике достаточно найти значения статистической функции распределения F^*(x) в точках X₀, X₁, ..., X_k, которые являются границами интервалов статистического ряда:

(65)

   Cледует заметить, что F*(x)=0 при x<X₀ и F*(x)=1 при x>X_k. Построив точки M_i [X_i ; F*(X_i)] и соединив их плавной кривой, получим приближенный график эмпирической функции распределения (рис. 15). Используя закон больших чисел Бернулли, можно доказать, что при достаточно большом числе n испытаний с вероятностью, близкой к единице, эмпирическая функция распределения F*(x) отличается сколь угодно мало от неизвестной нам функции распределения F(x) cлучайной величины

   Часто вместо построения графика эмпирической функции распределения поступают следующим образом. На оси абсцисс откладывают интервалы ] X₀, X₁ [, ] X₁, X₂ [, ..., ] X_k-1, X_k [. На каждом интервале строят прямоугольник, площадь которого равна частоте , соответствующей данному интервалу. Высота h_i этого прямоугольника равна , где - длинна каждого из интервалов. Ясно, что сумма площадей всех построенных прямоугольников равна единице.    Рассмотрим функцию , которая в интервале ] X_i-1, X_i [ постоянна и равна h_i. График этой функции называется гистограммой. Он представляет собой ступенчатую линию (рис. 16). С помощью закона больших чисел Бернулли можно доказать, что при малых и больших n с практической достоверностью как угодно мало отличается от плотности распределения непрерывной случайной величины .

Пример. Измерен диаметр у 270 валов хвостовика. Значения диаметра (в см) оказались в диапазоне 66-90 см. Разбив этот диапазон на интервалы диной 2 см ( =2), получим статистический ряд (см. таблицу)