30.5. Простейший поток событий
Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают одно за другим в отдельные моменты времени.
Таким потоком будет, например, поток вызовов в сфере обслуживания (ремонт телевизоров, заказы в ателье, химчистке и т.д.), вызовы на станции скорой помощи, телефонной станции, очередь на заправке и т.п.
Поток называется простейшим, если выполняются следующие условия:
1) вероятность наступления события пропорциональна длине промежутка времени ;
2) вероятность появления события на любом промежутке времени не зависит от того, какое число событий наступило до этого промежутка;
3) вероятность одновременного наступления двух или более событий считается пренебрежимо малой.
Пусть известно среднее число наступлений
события
в единицу времени
.
Определим вероятность того, что за
промежуток времени
событие
наступит
раз.
Разделим промежуток времени на
частей,
.
Вероятность, что в течение
событие наступит, равна
,
обратная вероятность, что событие не
наступит, равна
.
Тогда вероятность того, что за все время
событие произойдет
раз, можно подсчитать как вероятность
того, что на
промежутках оно наступит, а на
не наступит:
.
Для определения истинного значения вероятности нужно найти предел:
.
Используя преобразования, аналогичные тем, что применялись в пункте 4.3. получим
.
Полученная формула носит название формулы Пуассона. Поток событий, к которому она применима, также называется пуассоновским.
Пример. На станцию скорой помощи поступает в среднем 90 вызовов в час. Какова вероятность, что за 4 минуты произойдет а) один вызов;б) хотя бы один вызов?
а) Нужную вероятность вычислим по формуле
Пуассона, используя среднее число
вызовов в минуту
:
.
б) Искомую вероятность найдем, используя вероятность обратного события, что не произойдет ни одного вызова:
.