4.2. Приближение формулы Бернулли при больших и

Вычисление вероятностей по формуле Бернулли, несложное при небольших и , весьма затруднено при больших и . В подобных случаях формулу Бернулли преобразуют, используя формулу Муавра-Стирлинга, пригодную для больших :

.

Пример. Установлено, что иммунитет против туберкулеза приобретается после прививки в 94 % случаев. Какова вероятность, что среди 100000 привитых граждан 5800 не защищены от болезни?

В этой задаче = 100000, = 5800, вероятность события А — отсутствие иммунитета = 1– 0,94 = 0,06. По формуле Бернулли нужно вычислить:

.

Поскольку вычисление факториалов в данной формуле весьма затруднительно, попробуем использовать приближение формулы Бернулли:

.

Однако и этой формулой бывает не всегда удобно пользоваться. Неудобство возникает, если нужно вычислить сумму большого числа вероятностей типа . Например, если нас будет интересовать вероятность события В, состоящего в том, что от болезни не защищены от 5800 до 6200 человек, то для определения нужной вероятности следует подсчитать сумму 400 слагаемых:

,

что, конечно, не вызывает восторга.

В подобных случаях пользуются еще одним приближением, полученным Муавром (локальная теорема Муавра):

.

Значения вероятности по этой формуле можно вычислить и непосредственно на калькуляторе, а можно и с помощью таблиц функции

согласно соотношению , где .

Для вычисления суммы вероятностей ее заменяют интегралом (интегральная теорема Муавра):

.

Для стоящей под интегралом функции первообразная не существует в аналитическом виде, поэтому пользуются табулированной (т.е. заданной в виде таблицы) функцией

.

Тогда , где

, .

Вычислим с помощью функции Ф( ) вероятность того, что после проведения вакцинации от 5800 до 6200 граждан останутся без иммунитета.

При вычислении использовано свойство: Ф(– ) = –Ф( ).

4.3. Приближение формулы Бернулли при больших и малых и

Рассмотрим теперь случай когда – велико, а и – малы ( <<1, << ). При этих условиях формула Бернулли для удобства вычислений преобразуется следующим образом:

.

сокращая общие множители в ! и ( - )!.и также, положив , получим

Т.к. << , то множители в скобках можно принять равными 1, а используя предел заменить . Окончательно получим

.

Пример. В страховой компании застраховано 10000 клиентов, каждый из которых вносит в начале года 12 долларов. В случае смерти клиента (вероятность которой в течение года равна 0,006) компания выплачивает родственникам 1000 долларов. Какова вероятность, что фирма получит доход в размере 70000 долларов?

Считая, что доход – это разница между суммарным взносом в 120000 долларов и выплатами по случаю смерти, посчитываем, что нужный доход получится, если в течение года умрет 50 клиентов. Значит, = 10000, = 50 и вероятность этого .

30.4. Условия применимости формулы Бернулли

Поскольку схема повторения независимых испытаний (схема Бернулли) используется весьма часто, следует правильно определить круг задач, где она применима.

Во-первых, вероятность наступления события не должна меняться от опыта к опыту. Рассмотрим пример. В партии из 100 изделий имеется 10 бракованных. Наугад достаем 5 изделий, какова вероятность, что среди них 3 бракованных? Решение задачи зависит от того, каким способом отделяют 5 изделий.

Пусть это делается так. Достали первое изделие, отметили качество, положили в общую кучу и перемешали. Такой опыт повторили еще 4 раза. Тогда в каждом из них вероятность появления бракованного изделия одна и та же (10/100 = 0,1) и можно воспользоваться формулой Бернулли:

.

Описанный способ осуществления выборки называется схемой выборок с возвращением, к нему применима формула Бернулли.

Если же выбирать 5 изделий, по очереди откладывая их от общего количества (выборка без возвращения), то вероятность достать бракованное изделие будет меняться от опыта к опыту. В этом случае задачу решаем по формуле:

.

Следует заметить, что разница будет сильнее с уменьшением .

Во-вторых, следует внимательно подходить к использованию схемы Бернулли для описания работы системы, состоящей из нескольких частей (узлов, деталей, блоков и т.д.), в течение определенного промежутка времени . Например, прибор состоит из 5 узлов, вероятность выхода из строя каждого в течение времени равна . Если прибор выйдет из строя из-за поломки одного узла, то бессмысленно интересоваться вероятностью выхода из строя 2, 3, 4 или 5 узлов. Если же неисправный блок заменяется, то условия опыта (время работы) для разных узлов неодинаковы, значит, и вероятность выхода из строя у них будет разная. К тому же число испытаний (число узлов) будет зависеть от того, сколько уже узлов вышло из строя. Подобные ситуации правильнее будет описывать с помощью потока событий.