5. Другие виды средних величин.

Средняя квадратическая:

простая ,

взвешенная .

Наиболее широко этот вид средней используется при расчёте показателей вариации. Аналогично можно получить среднюю кубическую, возведя значения признака в 3-ю степень и взяв корень 3-й степени.

Средняя геометрическая:

простая ,

взвешенная .

Основное применение средняя геометрическая находит при определении среднего темпа роста.

Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему виду степенных средних. Степенная средняя степени k есть корень k-й степени из частного от деления суммы индивидуальных значений признака в k-й степени на число индивидуальных значений:

простая ,

взвешенная

При получаем среднюю арифметическую, при – квадратическую, при – кубическую, при – геометрическую, при – гармоническую. Чем выше показатель степени k, тем больше значение средней величины. Если все исходные значения признака равны, то и все средние равны этой константе. Т.о., имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:

.

6 Структурные средние.

При изучении вариации применяются и такие характеристики вариационного ряда, которые описывают количественную его структуру. Таковы медиана и мода.

Медиана – это значение признака, делящее пополам ранжированный (упорядоченный) вариационный ряд. Одна половина значений больше медианы, а другая – меньше.

Основное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Определим медиану по несгруппированным данным. Предположим, что 7 сотрудников отдела имеют следующий стаж работы (лет): 5, 2, 4, 3, 4, 2, 2.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

2, 2, 2, 3, 4, 4, 5.

Центральным в этом ряду является стаж 3 года, следовательно данный стаж и будет медианой. Если ранжированный ряд включает чётное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Для неоднородных совокупностей медиана практически выполняет функции средней. В этих случаях средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния аномальных максимальный или минимальных значений.

Допустим, необходимо дать общую характеристику прибыли 10 малых предприятий области, из которых 9 имеют прибыль в интервале от 100 до 250 тыс. руб., а прибыль последнего за рассматриваемый период составила 10000 тыс. руб.:

№ предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Прибыль, тыс. руб.	100	100	130	150	150	170	200	220	250	10000

Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим среднюю прибыль, равную примерно 1150 тыс. руб., что не только почти в 9 раз меньше прибыли 10-го предприятия, но и имеет мало общего с финансовыми результатами деятельности остальной части предприятий. Медиана же, равная в данном случае 16 тыс. руб., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 90% данной совокупности малых предприятий.

Рассмотрим определение медианы по сгруппированным данным. Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Цена, руб.	Число торговых предприятий
210	3
211	18
212	25
213	31
214	35
215	8
Итого	120

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

,

где – объём совокупности.

В нашем случае .

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при чётном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 60-м и 61-м предприятиями. Необходимо определить к какой группе относятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 3 торговых предприятия, их нет ни во второй группе (3+18=21), ни в третьей группе (3+18+25=46). 60-е и 61-е предприятия находятся в четвёртой группе (3+18+25+31=77), следовательно медианой является цена 213 руб.

В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется следующая формула:

,

где х₀ – нижняя граница медианного интервала (первого интервала, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

h – величина медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

m_Me – частота медианного интервала.

Пример. Имеются данные о дневной выработке 200 рабочих предприятий.

Дневная выработка, деталей	Число рабочих	Накопленная частота
50 – 60	25	25
60 – 70	30	25+30 = 55
70 – 80	50	55+50 = 105
80 – 90	60	105+60=165
90 – 100	35	165+35=200
ИТОГО	200	-

Требуется определить медиану дневной выработки рабочих предприятия.

70 – 80 – медианный интервал.

дет.

Мода – это значение изучаемого признака, которое встречается в изучаемой совокупности чаще всего, т.е. это признак с наибольшей частотой.

В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой.

Экзаменационная оценка	5	4	3	2
Число студентов	4	14	6	1

m_max = 14 Mo = 4.

Чаще встречаются ряды с одним модальным значением признака. Если два или несколько значений признака с наибольшей частотой имеются в вариационном ряду, он считается соответственно бимодальным, мультимодальным.

В интервальном вариационном ряду для нахождения моды используют следующую формулу:

,

где – нижняя граница модального интервала (имеющего наибольшую частоту);

h – величина модального интервала;

m_Mo – частота модального интервала;

m_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

m_Mo+-1 – частота интервала, следующего за модальным.

Для нашего примера модальный интервал 80 – 90.

.

9