Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Производной второго
порядка функции
называется производная от ее производной
,
т.е.
.
Аналогично определяются производные
более высоких порядков
.
Дифференциалы высших порядков функции (x – независимая переменная) вычисляются по формулам
.
Если функция
задана параметрически соотношениями
,
причем
,
то ее первая
и вторая
производные находятся по формулам:
.6.3.
Теорема Ролля.
Если функция
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема на интервале
и
,
то существует хотя бы одна точка
такая, что
.
Теорема Лагранжа.
Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
,
то существует точка
такая, что
(формула Лагранжа).
Теорема Коши.
Если функции
и
непрерывны на отрезке
,
дифференцируемы на интервале
и
,
то существует точка
такая, что
(формула Коши).
Правило Лопиталя
(раскрытие неопределенностей
и
).
Пусть
– окрестность точки
с выброшенной точки
.
Теорема.
Пусть функции
и
дифференцируемы на
;
.
Если
и
(или
и
),
то
при условии, что сущест-вует
предел отношения производных.
Замечания:1.
Аналогичная теорема справедлива и в
случае
.
2. Если частное
в точке
также есть неопределенность вида
или
и производные
и
удовлетворяют соответствующим условиям,
то можно перейти к отношению вторых
производных и т.д.
3.
Неопределенности вида
или
алгебраическими
пре-образованиями функции приводятся
к неопределенности вида
или
,
и далее применяется правило Лопиталя.
4. В случае
неопределенности вида
,
или
,
или
следует прологарифмировать функцию и
предварительно найти предел ее логарифма.
Формула Тейлора и ее приложения
Если функция
дифференцируема
раз в окрестности
точки
,
то для любого
имеет место формула Тейлора n-го
порядка
где
– остаточ-ный член в форме Лагранжа.
Приведем разложения
некоторых функций по формуле Тейлора
при
:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Остаточный
член формулы Тейлора может быть
представлен в форме Пеано:
при
.