2.5. Представление регулярных функций рядами
Изучаемые вопросы: Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд Тэйлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.
2.5.1. Функциональные ряды
Пусть
в области
определены ФКП
.
Выражение
(1)
называется
функциональным
рядом. Ряд
называется сходящимся
в точке
,
если существует конечный предел частичной
суммы ряда
, (2)
где
,
а сам предел
называется суммой
ряда.
Это означает, что
такое число
,
что для всех номеров
. (3)
Номер зависит, в общем, от и , но если (3) выполняется, начиная с , независимо от положения точки в области , то ряд (1) называется равномерно сходящимся в этой области.
Существует простой признак равномерной сходимости: если ряд (1) мажорируется (или усиливается) в области сходящимся положительным числовым рядом
, (4)
т.е.
для всех
и
,
то ряд (1) сходится равномерно в
.
При рассмотрении функциональных рядов возникают два основных вопроса: а) какова область сходимости, и б) какими свойствами обладает в этой области сумма ряда. Для решения вопроса а) используются признаки сходимости (Даламбера, абсолютной сходимости, и т.д.), а для решения вопроса б) – следующие теоремы:
Теорема 1. Если члены функционального ряда (1) непрерывны в и ряд сходится равномерно, то сумма ряда – функция, непрерывная в .
Теорема 2. Если члены функционального ряда (1) непрерывны в и ряд сходится равномерно, то сумму ряда можно интегрировать почленно вдоль любой кривой , т.е.
. (5)
Теорема 3.
(Вейерштрасса). Если члены ряда (1) являются
регулярными функциями в области
,
и он сходится равномерно в любой замкнутой
области
к сумме
,
то эта сумма также регулярна в
,
и её производные можно получить почленным
дифференцированием ряда (1):
. (6)
Ряд,
стоящий справа в (6) равномерно сходится
в области
.
2.5.2. Ряд Тэйлора
Степенным рядом с центром в точке называется ряд
. (7)
Числа
– коэффициенты ряда (7).
Теорема Абеля.
Если степенной ряд (7) сходится в точке
,
то он сходится
абсолютно
в круге радиуса
с центром в точке
,
причём, в любом замкнутом круге меньшего
радиуса с тем же центром его сходимость
равномерна. Если же он расходится в
точке
,
то он расходится во внешности круга
радиуса
с центром в
.
(см. рисунок).
На основании теоремы Абеля для любого степенного ряда доказывается существование радиуса сходимости .
Возможны три случая:
если
,
то ряд (7) сходится только в центре, т.е.
в точке
;если
,
то ряд (7) сходится при любом
;если
,
то он сходится в круге
и расходится вне его. Круг
(8)
называется кругом сходимости.
Во многих случаях радиус сходимости можно найти по признаку Даламбера:
Если
существует предел
,
то
. (9)
Члены степенного ряда (7) суть регулярные функции. По теореме Абеля, внутри круга сходимости этот ряд сходится равномерно, значит, по теореме 1, сумма его регулярна внутри круга сходимости. Справедливо и обратное утверждение. Тогда можно доказать следующую теорему.
Теорема. Пусть регулярна в круге радиуса с центром в . Тогда внутри этого круга её можно представить степенным рядом
= . (10)
При этом коэффициенты ряда выражаются формулой Тэйлора
.
(11)
Подставив (11) в (10), получим разложение в ряд Тэйлора:
.
(12)
Т.о., любая , регулярная внутри круга , представима в точках этого круга в виде суммы степенного ряда и разложение это единственно.
Функция, представимая в круге степенным рядом, называется аналитической. Для ФКП аналитичность равносильна регулярности.
Примеры вычисления ряда Тэйлора для некоторых элементарных функций Вы найдёте в Учебном пособии.
2.5.3. Ряд Лорана (РЛ)
Естественным обобщением степенного ряда является ряд Лорана. Это выражение вида
,
(13)
т.е. этот ряд
содержит отрицательные и неотрицательные
степени
и есть обобщение формулы (7). Части его
называются соответственно главной
и регулярной,
или правильной.
Коротко его можно записать в виде
.
Ряд Лорана считается
сходящимся, если одновременно сходятся
его главная и регулярная части. Регулярная
его часть – это обычный степенной ряд,
и пусть его радиус сходимости
,
т.е. она сходится в круге
. (14)
В
главной части сделаем замену
,
тогда получим степенной ряд
(15)
и пусть он сходится
в круге
.
Сделаем обратную замену, найдём, что
главная часть РЛ сходится во внешности
круга радиуса
с центром в
:
, (16)
и
если
,
то область сходимости РЛ (13) – это кольцо
(см. рисунок).
. (17)
Т.е. если РЛ сходится, то его область сходимости – концентрическое круговое кольцо.
Сумма РЛ есть регулярная функция внутри кольца сходимости.
Справедливо и обратное: функция регулярная в кольце может быть разложена в РЛ.
Частным случаем
является
:
кольцо – это круг с исключённым центром
.
Точка
в этом случае является особой,
в ней
не определена и имеет разрыв. Оказывается,
можно установить соответствие между
структурой РЛ и типом особенности
функции в особой точке.
2.5.4. Изолированные особые точки ФКП
Точка
называется изолированной
особой точкой
функции
,
если
регулярна в некотором круге
с исключённым центром и нерегулярна в
самой точке
.
Рассмотрим виды изолированных точек:
а)
называется устранимой
особой точкой (ОТ) функции
,
если существует конечный предел
.
Для того, чтобы
была устранимой ОТ, необходимо и
достаточно, чтобы РЛ
в окрестности
не содержал отрицательных степеней,
т.е. имел бы вид
РЛ
.
Пример.
□
имеет устранимую ОТ в
.
В самом деле,
,
а предел
.■
б) особая точка
называется полюсом
функции
,
если
.
Для того, чтобы точка была полюсом , необходимо и достаточно, чтобы главная часть РЛ в содержала конечное число членов:
РЛ
(
).
(18)
Пусть
имеет место (18). Умножим обе части его
на
:
. (19)
Здесь в знаменателе
стоит степенной ряд – регулярная функция
с коэффициентом
,
следовательно, дробь есть также некая
регулярная функция
,
тогда
– регулярна в
точке
и имеет в ней корень кратности
за счёт первого множителя. Поэтому
порядком
полюса
функции
называется кратность корня
функции
,
и он равен максимальной степени разности
в главной части ряда Лорана.
в) точка
называется
существенно особой точкой
функции
,
если
не существует.
Для того, чтобы точка была существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы РЛ в окрестности содержал бесконечное число членов с отрицательными степенями.
2.5.5. Разложение в РЛ в окрестности бесконечно удалённой точки
Ранее (п.2.1),
указывалось, что
называется внешность круга с центром
в начале координат, т.е. она представляет
собой кольцо с бесконечным внешним
радиусом. Функция
,
которая регулярна в такой области,
должна раскладываться в ней в РЛ по
степеням
.
В этом случае также возможны три вида
особенностей и, соответственно, три
случая разложения:
а) 
,
(20)
т.е., РЛ в не содержит положительных степеней. Тогда имеет в устранимую особенность. Можно считать, что в этом случае регулярна в окрестности бесконечно удалённой точки.
б)
,
(21)
т.е. РЛ содержит конечное число членов с положительными степенями. Тогда бесконечно удалённая точка является полюсом и .
в) РЛ содержит бесконечное число членов с положительными степенями. Тогда бесконечно удалённая точка является существенно особой для .
Заметим, что при разложении в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки смысл и название частей ряда противоположны тем, что имеют место при разложении в окрестности особой точки.
Вопросы для самопроверки по теме 2.5
1. Что называется функциональным рядом и чему равна его сумма?
2. В каком случае ряд называется равномерно сходящимся?
3. Напишите выражение
для степенного ряда с центром в точке
.
4. Пусть степенной
ряд сходится в точке
,
а центр его лежит в точке
.
Нарисуйте круг сходимости этого ряда
и укажите область расходимости.
5. Напишите формулу Тэйлора.
6. Как называются различные части ряда Лорана?
7. Можно ли функцию, регулярную в круге разложить в ряд Лорана?
8. Какие виды изолированных особых точек Вы знаете?