Вопросы для самопроверки по теме 2.1
1. Какие формы записи комплексного числа Вы знаете?
2. Как определяются модуль и аргумент к. ч?
3. Что такое главное значение аргумента?
4. Напишите формулы сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень к.ч.
2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана
Изучаемые вопросы: Определение ФКП. Предел и непрерывность. Производная и дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Регулярность. Гармонические функции.
По этой теме Вам также предстоит решить задачу контрольной работы (см. [4]).
2.2.1. Общие замечания
Все нужные определения и примеры приведены в Учебном пособии.
При изучении материала обратите внимание на схожесть понятий для ФКП и функций вещественного переменного. Различие в понятиях бесконечности на вещественной оси и бесконечно удалённой точки (БУТ) на комплексной плоскости основано на следующем.
Понятие БУТ
вводится по аналогии с расширением
вещественной оси, к которой добавляют
две «бесконечные» точки:
и
.
Комплексная плоскость с добавленной
БУТ также называется расширенной.
Геометрическую
интерпретацию этого понятия дал Риман
(сфера Римана).
Р
ассмотрим
сферу произвольного радиуса
,
касающуюся комплексной плоскости
в начале координат
(рис.1). Пусть
– верхний конец вертикального диаметра
(северный полюс). Любое к.ч. изображается
точкой
на комплексной плоскости. Соединим эту
точку с полюсом
,
и пусть
– точка пересечения прямой
со сферой. Точка
называется стереографической
проекцией
точки
.
Тогда
.
Наоборот,
.
Соответствие будет однозначным, если
считать, что
.
Тогда, при
,
т.е. окрестностью БУТ следует считать
множество точек расширенной комплексной
плоскости:
,
т.е. внешность любого круга радиуса
с
центром в начале координат
.
Необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости ФКП являются условия Коши-Римана, которые совпадают с уравнениями (1). Следует запомнить все четыре выражения для производной ФКП через частные производные её вещественной и мнимой частей:
(2)
Важным в ТФКП является понятие регулярной функции: функция однозначная и дифференцируемая в каждой точке некоторой области называется регулярной в этой области. Из этого определения следует, что для регулярной функции выполняются условия Коши-Римана.
Функция, регулярная в окрестности некоторой точки, называется регулярной в этой точке. Оказывается, что функция, регулярная в точке, имеет в этой точке производные любых порядков.
Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа
, (3)
называются гармоническими функциями. Уравнение (3) имеет большое значение в электродинамике, описывая потенциал постоянного электрического поля в пустоте.
Вопросы для самопроверки по теме 2.2
1. В чём заключаются условия Коши-Римана?
2. Напишите четыре уравнения для вычисления производной ФКП.
3. Что означает регулярность функции?
4. Какие функции называются гармоническими?
2.3. Элементарные функции и конформные отображения
Изучаемые вопросы: Линейная ФКП. Геометрический смысл производной. Дробно-линейная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические ФКП.
Простейшей из рассматриваемых элементарных ФКП является линейная:
, (4)
являющаяся
формальным аналогом линейной функции
вещественного переменного
.
Но вещественная функция ставит в
соответствие точкам оси
точки оси
,
т.е. осуществляет отображение
,
а ФКП (4) отображает точки комплексной
плоскости
в точки комплексной плоскости
(рис.1).
П
усть
,
т.е.
,
тогда (4) можно представить как сложную
функцию, составленную из функций
1)
;
2)
;
3)
;
Видим (рис.2), что
1) отображает поворот вектора
на угол
,
изображаемый вектором
,
2) – отображает подобное преобразование
вектора
в вектор
с коэффициентом подобия
,
а 3) – отображает сдвиг
на постоянную величину
.
Суперпозиция этих трёх преобразований
и даёт в итоге вектор
.
Пусть
имеет
в точке
конечную производную
.
Переменная, стремящаяся к конечному
пределу, отличается от него на бесконечно
малую:
, (5)
г
де
при
.
В (5)
,
и пусть
,
(6)
тогда
.
(7) (5.9)
Последнее выражение
показывает, что любое дифференцируемое
отображение в окрестности фиксированной
точки приближённо можно считать линейным,
если выполняется условие (6). Отсюда
вытекает геометрический
смысл производной от ФКП:
в малой окрестности точки
происходит подобное преобразование с
коэффициентом
и поворот на угол
.
Такое преобразование называется
конформным
в точке
.
Достаточным условием этого является
условие (6).
Отображение называется конформным в области, если оно взаимнооднозначно и конформно в каждой точке области. Заметим, что при конформном отображении, отличном от линейного, коэффициент подобия и угол поворота меняется от точки к точке.
Об остальных
функциях Вы прочтёте Учебном пособии.
Здесь лишь заметим, что, в отличие от
функций вещественного переменного,
показательная ФКП является периодической
с периодом
,
логарифмическая – бесконечнозначной,
и что формально формулы дифференцирования
элементарных ФКП совпадают с оными для
функций вещественного переменного.
Вопросы для самопроверки по теме 2.3
1. В чём состоит геометрический смысл производной от ФКП?
2. Напишите формулы элементарных ФКП: линейной, дробно-линейной, показательной, логарифмической.
3. В чём отличие вещественной и комплексной логарифмических функций?
4. Напишите равенство Эйлера.
5. Как выражаются тригонометрические функции вещественной переменной через показательную функцию?