Алгоритм оценки результатов измерения согласно метода наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов применяется для получения оценок обработки накопленных измерений. В том случае, если выполнено измерений координат (параметров) системы

,

(2.10)

то поскольку компоненты вектора наблюдения

(2.11)

измеряются с ошибками, то как следствие измерений получают новый вектор, то есть вектор измерений

.

(2.12)

В выражениях (2.10) … (2.12) обозначены:

- n-мерный вектор состояния системы;

- квадратичная матрица коэффициентов системы размеренности n n;

- матрица возмущений, размеренности m k;

- k-мерный вектор возмущений, действующих на входе динамической системы;

- матрица связи (наблюдений);

- вектор измерений.

Таким образом, согласно вектору измерений и заданной матрице наблюдения наилучшим образом оценить состояние вектора . Критерием такой оценки согласно метода наименьших квадратов служит функционал:

,

(2.13)

который минимизирует сумму квадратов ошибок измерения .

В матричном виде критерий (2.13) имеет вид:

(2.14)

или, учитывая, что запишется так

.

(2.15)

Оценка вектора состояния системы можно получить путем решения уравнения

,

(2.16)

применяя которое к (2.15), получим:

.

(2.17)

Выражение (2.17) принимает значение, равное нулю в том случае, когда согласные равны нулю:

и .

(2.18)

Из выражения

(2.19)

следует

,

откуда

.

(2.20)

Теперь сформируем необходимые и достаточные условия получения оптимальных оценок вектора состояния системы методом наименьших квадратов, который предусматривает:

• наличие накопления наблюдений ;

• значение матрицы наблюдения ;

• особенность матрицы , то есть .

Структурная схема получения оптимальных оценок методом наименьших квадратов может быть представлена в виде рис. 2.7.

Рисунок 2.7 – Структурная схема получения оптимальных оценок

Получение оценки связано с накоплением наблюдений , вследствие чего новая оценка параметра не совпадает по времени с его текущим значением из-за необходимости времени не накопление наблюдений. Поэтому алгоритм МНК для оценки используют в случае измерения одного и того же параметра несколькими датчиками.

Пример. Рассмотрим систему измерения углового положения ЛА с использованием МНК. В данной системе на основе информации от трех идентичных ИНС вычисляется угол крена ЛА. Показания первой, второй и третей ИНС соответственно равны:

(2.21)

где - текущее значение угла крена;

, , - ошибки ИНС (компоненты вектора ).

В матричной форме (2.21) имеет вид

,

(2.22)

где ; ; ; .

Итак, необходимо в соответствии с наблюдением и заданною матрицею наблюдения осуществить оценку состояния вектора .

Оценкой угла крена согласно МНК является:

,

(2.23)

где а) ;

б) ;

в) = .

Полученные значения подставим в (2.23):

.

Таким образом, в данном случае значение крена определяется как среднее арифметическое показаний трех инерциальных систем.