1.5. Примеры применения теоремы Гаусса к расчёту электростатических полей в вакууме

Поле заряда q, равномерно распределённого по поверхности сферы радиусом R с поверхностной плотностью .

Если r > R, то = q

и Е _r = .

Если r < R, то = 0 и Е _r = 0.

Из связи между потенциалом и напряжённостью поля следует, что . Полагая  =0 при r , получим для потенциала поля вне сферы (r R)

.

Внутри сферы (r < R) потенциал всюду одинаков:

 = R/ ₀.

Графики зависимостей E _r и  от r приведены на рис.1.4

Поле заряда q, равномерно распределённого в вакууме по объёму шара радиусом R с объёмной плотностью  = .

Если r > R, то = q и

Е _r = ,  = .

Если r < R, то

= r³ =

и Е _r = .

Из связи  и Е следует, что для r < R,  = (R) - , тогда .

Графики зависимостей Е _r и  от r приведены на рис.1.5.

Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме по плоскости с поверхностной плотностью . Эта плоскость (х = 0) является плоскостью симметрии поля, вектор напряжённости Е которого направлен перпендикулярно плоскости от неё (если >0) или к ней (если  < 0).

Для всех точек поля

|Е_х| = .

Так как = - Е _х, то, полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоскости (х = 0), получим .

Графики зависимостей Е и  от x приведены на рис.1.6.

1.6. Электрическое поле в диэлектрических средах. Дипольные моменты молекул диэлектрика. Поляризация диэлектрика

Вещества, которые не проводят электрический ток, называются диэлектриками. В диэлектриках, в отличие от проводников, нет свободных носителей заряда. Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны. Тем не менее, молекулы обладают электрическими свойствами. В первом приближении молекулу можно рассматривать как электрический диполь с дипольным электрическим моментом р_е = ql.

Как всякий электрический диполь молекула создаёт электрическое поле, поэтому электрические поля диполей, складываясь, создают некоторое собственное поле Е ^, которое, налагаясь на внешнее поле Е_о, образует результирующее электрическое поле в диэлектрике Е = Е_о + Е ^.

Существуют два основных вида однородных и изотропных диэлектриков:

неполярные диэлектрики (атомы и молекулы таких диэлектриков в отсутствие внешнего электрического поля не имеют дипольных моментов, а при помещении в электрическое поле приобретают индуцированные дипольные моменты, пропорциональные величине напряженности поля);

полярные диэлектрики (атомы и молекулы таких диэлектриков в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольными моментами, при помещении в электрическое поле дипольные моменты ориентируются преимущественно по направлению вектора напряженности поля).

На электрический диполь в электрическом поле действует момент сил, поворачивающий диполь по направлению поля:

М=[p _e,E], М = р _eЕ sin.

Электрическое поле совершает работу при ориентации диполя, поэтому электрический диполь во внешнем поле обладает потенциальной энергией

W_п = - (p _eE) = -(p _eE)cos,

где  - угол между дипольным моментом и напряженностью поля (рис.1.7).

Установлению параллельной ориентации всех дипольных моментов препятствует тепловое движение атомов и молекул диэлектрика.

При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит поляризация диэлектрика, состоящая в том, что в любом малом его объёме V возникает отличный от нуля суммарный дипольный электрический момент молекул. Диэлектрик в таком состоянии называется поляризованным. Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор поляризации Р.

Поляризация (вектор поляризации) равна электрическому дипольному моменту единицы объема диэлектрика:

P = р _еi.

В случае неоднородной поляризации (Р  const) необходимо рассматривать предел этого отношения, когда V0.

Для однородных и изотропных диэлектриков вектор поляризации пропорционален напряженности поля:

Р =  _оЕ,

где  - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

В результате поляризации диэлектрика в тонких слоях у ограничивающих его поверхностей возникают некомпенсированные связанные заряды, называемые поверхностными поляризационными (связанными) зарядами. Поверхностная плотность _связ поляризационных зарядов равна проекции вектора поляризации Р на внешнюю нормаль n к рассматриваемой поверхности диэлектрика:

 _связ = Р_n = Р cos,

где  - угол между вектором поляризации и нормалью к поверхности.