2.15. Система уравнений Максвелла

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея в форме

.

Согласно Максвеллу этот закон справедлив не только для проводящего контура, но и для любого замкнутого контура, мысленно выбранного в переменном магнитном поле. Иными словами, с переменным магнитным полем независимо от того, находятся в нём проводники или нет, неразрывно связано вихревое электрическое поле.

Переменное электрическое поле, так же как и электрический ток, является источником магнитного поля. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля служит ток смещения. Плотностью тока смещения называется вектор:

.

Второе уравнение Максвелла в интегральной форме: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному контуру L равна алгебраической сумме макротоков и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур (рис. 2.21):

,

где j _пр- плотность тока проводимости; j _см- плотность тока смещения.

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме:

,

где _своб - объемная плотность свободных электрических зарядов.

Четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме:

.

Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить так называемыми материальными уравнениями, характеризующими электрические и магнитные свойства среды.

В случае изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред и макротоков, подчиняющихся закону Ома, эти уравнения имеют вид

,

где _, _ – электрическая и магнитная постоянные; ,  – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды;  – удельная электрическая проводимость среды.

Примеры решения задач

1. Квадратная рамка со стороной а=2 см, содержащая 100 витков, подвешена на упругой нити с постоянной кручения С=10 мкНм/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линий индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I=1А она повернулась на угол =60^о.

РЕШЕНИЕ

Рамка будет находиться в равновесии, когда результирующий момент сил, действующий на рамку, равен нулю, т.е.  М = М₁+М₂ = 0, где М₁–момент сил, действующих на рамку с током со стороны магнитного поля; М₂ – момент упругих сил.

М₁ = р _m B sin ,

где р _m = NIS = NIa^магнитный момент рамки; В–индукция магнитного поля; –угол между вектором В и нормалью к плоскости рамки. Как видно из рисунка, угол =90– =30.

М₂=С.

Из условия равновесия

Ia²NB sin  - С = 0,

откуда

B = С/(Ia²NB sin ).

Подставим числовые значения:

В = 10 ^-360 / 141000,5 = 30 мТл.

2. Прямой бесконечный проводник имеет круговую петлю радиусом R = 80 см. Определить силу тока в проводнике, если известно, что в точке А магнитная индукция B = 12,5 мкТл.

РЕШЕНИЕ

По принципу суперпозиции индукция магнитного поля в точке А равна векторной сумме индукций магнитных полей, созданных бесконечно длинным проводником с током I (В ₁) и круговым током в его центре (В₂):

В _А = В ₁ + В ₂.

Векторы В₁ и В ₂ на рисунке в точке А будут направлены в одну сторону перпендикулярно плоскости рисунка от нас, тогда можно записать

,

откуда

.

Подставим числовые значения:

А.

3. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током I₀ = 5 А. Сторона рамки 8 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в n = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти поток вектора В через поверхность рамки.

РЕШЕНИЕ

Прямой проводник с током создает вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией

В = ₀I₀ / 2r ,

величина которой уменьшается с увеличением расстояния от проводника. В плоскости рамки вектор индукции будет совпадать с направлением нормали к рамке. Так как магнитное поле неоднородное, поверхность, ограниченную рамкой, разобьём на элементарные площадки dS = adr, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной величиной (см.рисунок). Тогда поток магнитной индукции (магнитный поток) через элементарную площадку

dФ _m = BdScos 0 = Bаdr =  ₀I ₀a dr / (2r).

Полный поток вектора В через поверхность рамки

.

Подставим числовые значения:

Ф_В = 410^–750,08(ln 2)/2 = 5,54510^–8 Вб.

4. Между полюсами электромагнита требуется создать магнитное поле с индукцией В=1,4 Тл. Длина железного сердечника l₁=40 см, длина межполюсного пространства l₂=1 см, диаметр сердечника D=5 см. Какую ЭДС  нужно взять для питания обмотки электромагнита, чтобы получить требуемое магнитное поле, используя медную проволоку площадью поперечного сечения S=1 мм ²? Какая будет при этом наименьшая толщина b намотки, если считать, что предельно допустимая плотность тока j=3 МА/м ²?

РЕШЕНИЕ

Так как силовые линии магнитного поля замкнуты, то магнитный поток и индукция магнитного поля в сердечнике и в воздушном зазоре одинаковы: В₁ = В₂. Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора Н (т.к. циркуляция Н определяется только макротоками и не зависит от наличия или отсутствия магнетика). Выберем замкнутый контур вдоль силовой линии и вычислим циркуляцию вектора напряжённости:

,

где Н₁ и Н₂ – напряжённости магнитного поля в сердечнике и вне его; l₁ и l₂ – длина железного сердечника и межполюсного пространства.

Так как H₂ = B₂/₀ = B₁/₀, то

H₁l₁ + B₁l₂/₀ = NI. (1)

Поскольку величина В₁ известна по условию задачи, то величину Н₁ найдём из графика зависимости В = В(H) (прил. 1):

при В = 1,4 Тл, Н = 800 А/м.

Из уравнения (1) определим число ампер-витков электромагнита:

(NI) = 8000,4 + 1,40,01/(43,1410^–7) = 1,1410⁴ А-вит.

Величину ЭДС  вычислим по закону Ома:

 = IR_пров = Il _пров/S = IDN / S = IDN / S.

Подставим числовые значения:

 = 1,710^–83,140,051,1410⁴/10^–6 = 31 В.

Для определения толщины обмотки нужно знать общее число витков N и число витков N₁ в одном слое обмотки.

N₁ = l ₁ / d,

где l₁ – длина сердечника; d – диаметр провода обмотки: d = , тогда

N ₁ = l ₁ / = 0.4 / = 354 витка .

Зная число ампер–витков и предельно допустимое значение силы тока (I = jS), определим общее число витков N:

N = (NI) / (jS) = 1,1410 ⁴ / (310⁶10^–6) = 3800 витков.

Число слоёв

k = N / N₁ = 3800/354  11.

Тогда толщина обмотки

b = dk = k = 11 = 12,410 ^-3 м  12 мм.

5. Квадратная рамка с током I=1 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током I₀=5 А. Сторона рамки 10 см. Ось рамки, проходящая через середины противоположных сторон, параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в n = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти:

1. силу, действующую на рамку;

2. работу, которую нужно совершить для поворота рамки вокруг её оси на 180, если токи поддерживают неизменными.

РЕШЕНИЕ

1. Прямой длинный проводник с током I₀ создаёт вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией B₀=₀I_o/2r, которая уменьшается с увеличением расстояния от проводника. В таком магнитном поле на каждую сторону квадратной рамки с током будет действовать сила Ампера, направление которой можно определить по правилу левой руки, а величину - по формуле F_A=IB₀lsin .

Как видно из рисунка (при указанных направлениях силы тока в проводниках), l=a, =90 (sin  =1), силы F₂ и F₄ противоположны по направлению и равны по величине:

.

Следовательно, результирующая этих двух сил равна нулю. Силы F ₁ и F ₃ противоположны по направлению, но не равны по величине:

F₁ = I₀I₀a / (2a) = ₀I₀I / (2).

F₃ = I₀Ia / (22a) = ₀I₀I / (4).

Так как сила F₁ в два раза больше силы F₃, то результирующая этих сил будет совпадать по направлению с силой F₁, а по величине

F = F₁ – F₃ = ₀I₀I / (2) – ₀I₀I / (4) = ₀I₀I / (4).

Подставим числовые значения

F = 410^–715/(4) = 510^–7 Н = 0,5 мкН.

2. Работу, необходимую для поворота рамки с током I на 180, можно определить по формуле

А = IФ = I(Ф₂ – Ф₁),

где Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки через поверхность рамки в начальном и конечном состояниях. Так как магнитное поле проводника с током I₀ неоднородное, сначала определим магнитный поток через элементарную площадку dS = adr, в пределах которой индукцию магнитного поля можно считать постоянной величиной:

dФ = B₀dS cos ,

а полный магнитный поток сквозь рамку в начальном и конечном состояниях

.

.

Так как ₁ = 0, ₂ = 180, (cos ₁ = 1, cos ₂ = –1), то

Ф = Ф₂ – Ф₁ = – ₀aI₀ (ln 2) / (2) – ₀aI₀ (ln 2) / (2) = –₀aI₀ (ln 2) / .

Работа

А = IФ = –₀aI₀I (ln 2) /  .

Подставим числовые значения:

А = –40,1150,6910^–7/  –1,410^–7 Дж = –0,14 мкДж .

6. Тонкий металлический стержень длиной l = 1,2 м вращается в однородном магнитном поле вокруг перпендикулярной к стержню оси, отстоящей от одного из его концов на расстоянии а=0,25 м, делая n=120 об/мин. Вектор магнитной индукции поля параллелен оси вращения и имеет величину В=10^–3 Тл. Найти разность потенциалов U, возникающую между концами стержня.

РЕШЕНИЕ

Разность потенциалов между концами стержня будет равна по величине ЭДС индукции, возникающей в стержне за счёт вращения:

U =  _i = –dФ/dt. (1)

Для однородного магнитного поля и плоской поверхности Ф=BScos, или, подставив в (1), получаем (знак минус опустим, так как необходимо найти только величину ЭДС):

U = d(BS cos )/dt . (2)

В данном случае В и cos не зависят от времени. Кроме того, по условию задачи cos =1, поэтому из выражения (2) следует

U = B dS/dt = B d[(l + a)² – a²]/2dt , (3)

d = dt = (2n)dt. (4)

Подставляя (4) в (3), получим:

U = B2n(l² + 2la) /2.

U = 10^–322 (1,2² + 21,20,25)/2 = 0,0128 В = 12,8 мВ.

7. Прямой проводник длиной l=10 см помещён в однородное магнитное поле с индукцией В=1 Тл. Концы проводника замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление внешней цепи R=0,4 Ом. Какая мощность потребуется для того, чтобы двигать проводник перпендикулярно линиям индукции с постоянной скоростью v=20 м/с?

РЕШЕНИЕ

Проведём анализ условия задачи. При движении проводник будет пересекать линии индукции. За счёт этого в проводнике возникнет ЭДС индукции

 = – dФ/dt, (1)

где в данном случае

dФ = BdS = Blvdt . (2)

Подставляя (2) в (1), получаем:

 = – Blv .

Сила индукционного тока в цепи согласно закону Ома

I =  / R = – (Blv)/R.

Тепловая мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении:

P_тепл = I²R = B²l²v²/R.

Эта мощность будет равна мощности, которую необходимо подводить к системе за счёт внешней силы, действующей на проводник, для того, чтобы скорость движения проводника была постоянной. Таким образом:

P = B²l²v²/R = 10,01400/0,4 = 10 Вт.

8. Две катушки равномерно намотаны на цилиндрический сердечник, длина которого много больше диаметра. Индуктивность первой катушки 0,2 Гн, второй–0,8 Гн. Сопротивление второй катушки 600 Ом. Какой ток потечёт по второй катушке, если ток в 0,3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение времени 0,001 с.

РЕШЕНИЕ

Данная задача относится к разделу взаимной индукции. Сила тока во вторичной обмотке

I₂ =  ₂ /R ₂. (1)

Величина  ₂ зависит от взаимной индуктивности L₁₂ и быстроты изменения силы тока I₁:

 ₂ = –L₁₂dI₁/dt = –L₁₂I₁/t = –L₁₂(I₁ – I₀₁)/t. (2)

Взаимная индуктивность двух соленоидов, имеющих общий сердечник, рассчитывается по формуле

L₁₂ = ₀n₁n₂lS. (3)

Собственные индуктивности

L₁ = ₀n₁²lS, (4)

L₂ = ₀n₂²lS, (5)

поэтому, учитывая выражения (3), (4), (5), получаем

L ₁₂ = . (6)

Подставляя выражение (6) в выражение (2), а полученный результат - в выражение (1), получаем:

I ₂ = (L ₁₂I ₀₁) / R ₂ = (I ₀₁ ) / R ₂t.

I ₂ = = 0,2 А.

9. На тороид квадратного поперечного сечения намотано 1000 витков провода. Внутренний радиус тороида равен 0,1 см, внешний - 0,2 см. Магнитная проницаемость тороида равна100.По обмотке тороида протекает электрический ток силой 1 À. Определить энергию магнитного поля внутри тороида.

РЕШЕНИЕ

Решим задачу двумя способами.

1. Энергия магнитного поля – это энергия, запасённая в индуктивности:

W _m = LI²/2,

где L-индуктивность, I-сила тока, протекающего в индуктивности.

Потокосцепление, согласно определению индуктивности, рассчитывается как

 = LI,  = NФ _m,

где Ф _m – магнитный поток через поперечное сечение S тороида.

Ф _m = ,

где r - расстояние от центра тороида до площадки dS, на которой определяется величина индукции магнитного поля. Так как тороид квадратного сечения, то высота площадки h = (r ₂ - r ₁), а ширина - dr. Поэтому

Ф _m =  ₀NI(r ₂ - r ₁) =  ₀NI(r ₂ - r ₁)ln .

Тогда индуктивность тороида

L = =  ₀N ² (r ₂ - r ₁)ln .

Подставляя выражение для индуктивности в выражение для энергии, получаем:

W _m = ₀N²(r₂ – r₁)I² ln(r₂/r₁) / (4).

W _m = 100410^–710⁶10^–31ln2 /(4) = 6,9 мДж.

2. Энергия магнитного поля W _m связана с плотностью энергии w _m соотношением

W _m = ,

где w _m = ₀Н ² / 2.

Внутри тороида

Н = NI / l = NI / 2r.

Выберем в качестве элемента объема dV объем цилиндрического слоя радиусом r, высотой h=(r ₂ - r ₁) и толщиной dr (в пределах этого слоя величина Н постоянна). Запишем выражение для dV = (r₂ – r₁)2r dr и подставим в выражение для энергии W_m. Получаем:

W _m =  ₀N ² I ²(r ₂ - r ₁)ln .

Подставим числовые значения и получим:

W = 6,9 МДж.

Как видим, оба решения дают одно и то же значение.

Примечание: если в условии задачи величина  не задана, а указано, что тороид представляет собой железный, стальной или чугунный сердечник, то величина  находится по графику зависимости В = В(Н) (приложение) как

 = В /  ₀Н.

В качестве величины Н принять значение Н в центральной точке поперечного сечения тороида.