1.4. Потенциал электростатического поля. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении в нём электрического заряда

Работа А, совершаемая кулоновскими силами при малом перемещении dl точечного заряда q в электростатическом поле:

А = Fdl = qEdl = qEdlcos(E,dl),

где Е - напряжённость поля в месте нахождения заряда q. Работа кулоновской силы при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории заряда q (т.е. кулоновские силы являются консервативными силами). Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q вдоль любого замкнутого контура L равна нулю. Это можно записать в виде теоремы о циркуляции вектора Е.

Циркуляцией напряжённости Е электрического поля вдоль замкнутого контура L, проведённого в поле, называется линейный интеграл

= .

Для электростатического поля справедлива теорема о циркуляции: Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю.

.

Это соотношение, выражающее потенциальный характер электростатического поля, справедливо для поля как в вакууме, так и в веществе.

Работа А, совершаемая силами электростатического поля при малом перемещении точечного заряда q в электростатическом поле, равна убыли потенциальной энергии этого заряда в поле:

А= - dW_П и А_1-2= - W_П = W_П1 - W_П2,

где W_П1 и W_П2 — значения потенциальной энергии заряда q в точках 1 и 2 поля. Энергетической характеристикой электростатического поля служит его потенциал.

Потенциалом электростатического поля называется скалярная физическая величина , равная потенциальной энергии W_П положительного единичного точечного заряда, помещённого в рассматриваемую точку поля.

.

Потенциал поля точечного заряда q_i в вакууме

 = .

Принцип суперпозиции для потенциала

 = ,

т.е. при наложении электростатических полей их потенциалы складываются алгебраически.

Потенциал поля электрического диполя в точке С (рис. 1.2)

.

Если заряды распределены в пространстве непрерывно, то потенциал  их поля в вакууме

 = = .

Интегрирование проводится по всем зарядам, образующим рассматриваемую систему.

Работа А_1-2, совершаемая силами электростатического поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 поля (потенциал ₁) в точку 2 (потенциал ₂):

А_1-2 = q (₁ - ₂).

Если ₂ = 0, то ₁ = .

Потенциал какой-либо точки электростатического поля численно равен работе, совершаемой силами поля при перемещении положительного единичного заряда из данной точки в точку поля, где потенциал принят равным нулю.

При изучении электростатических полей в каких-либо точках важны разности, а не абсолютные значения потенциалов в этих точках. Поэтому выбор точки с нулевым потенциалом определяется только удобством решения данной задачи. Связь между потенциалом и напряжённостью имеет вид

Е_х = , Е_у = , Е_z = и Е = - grad  ,

т.е. напряжённость электростатического поля равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциала.

Геометрическое место точек электростатического поля, в которых значения потенциалов одинаковы, называется эквипотенциальной поверхностью. Если вектор dl направлен по касательной к эквипотенциальной поверхности, то = 0 и Е_ = 0. Это означает, что вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности в каждой точке, т.е. E = E_n.